A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং K একটি স্কেলার হলে—

1. (A^t)^t = A
2. (KA)^t = KA^t
3. যদি |A| ≠ 0 হয়, তবে  |A^-1|=1/|A| 

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া তিনটি বিবৃতি যাচাই করি। **প্রথম বিবৃতি:** (i) \((A^t)^t = A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নেওয়ার পর আবার ট্রান্সপোজ নিলে পূর্বের ম্যাট্রিক্স ফিরে আসে। অর্থাৎ, \[ (A^t)^t = A \] সুতরাং, এটি সত্য। --- **দ্বিতীয় বিবৃতি:** (ii) \((KA)^t = KA^t\) এখানে \(K\) একটি স্কেলার। ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, \[ (KA)^t = K A^t \] কারণ স্কেলার কনস্ট্যান্ট হিসেবে বিবেচিত হয় এবং ট্রান্সপোজের সময় ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের পাশে স্কেলার থাকলে তা পরিবর্তিত হয় না। অতএব, \[ (KA)^t = K A^t \] সুতরাং, এটি সত্য। --- **তৃতীয় বিবৃতি:** (iii) যদি \(|A| \neq 0\), তবে \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\) এটি একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব, যেখানে বলছে, যদি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্ট শূন্য না হয়, তবে এর ইনভার্সের ডিটারমিনেন্ট হবে মূল ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্টের বিপরীত সংখ্যা। অর্থাৎ, \[ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \] অর্থাৎ, এটি সত্য। --- **সারাংশ:** সকল বিবৃতি সত্য। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i, ii ও iii"** --- **পূর্ণ সমাধান HTML ফরম্যাটে:** ```html

প্রথম বিবৃতি:

\( (A^t)^t = A \)

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নেওয়ার পর আবার ট্রান্সপোজ নিলে মূল ম্যাট্রিক্স ফিরে আসে। তাই, এটি সত্য।

দ্বিতীয় বিবৃতি:

\( (KA)^t = K A^t \)

স্কেলার কনস্ট্যান্ট হিসেবে বিবেচিত হয়। ট্রান্সপোজের সময় ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের পাশে স্কেলার থাকলে তা পরিবর্তিত হয় না। তাই, এটি সত্য।

তৃতীয় বিবৃতি:

যদি \(|A| \neq 0\), তবে \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\)

এটি একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব। ডিটারমিনেন্ট শূন্য না হলে, ইনভার্সের ডিটারমিনেন্ট মূল ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্টের বিপরীত। তাই, এটি সত্য।

অতএব, উত্তর: i, ii ও iii

```