যদি  π/2 < θ < π এবং sinθ = 5/13 হয়, তবে  (tanθ + sec(-θ))/(cotθ + cosec(-θ)) এর মান কত?

🤔 দেওয়া আছে, \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\), অর্থাৎ \(\theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। এই চতুর্ভাগে sinθ ???নাত্মক এবং cosθ, tanθ, cotθ, secθ, cosecθ ঋণাত্মক।

আমরা জানি, sinθ = 5/13

আমরা আরও জানি, \(sin^2θ + cos^2θ = 1\)

সুতরাং, \(cos^2θ = 1 - sin^2θ = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}\)

যেহেতু \(\theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই \(cosθ\) ঋণাত্মক হবে।

সুতরাং, \(cosθ = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}\)

এখন, আমরা tanθ, secθ, cotθ এবং cosecθ এর মান বের করি।

\(tanθ = \frac{sinθ}{cosθ} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}\)

\(secθ = \frac{1}{cosθ} = \frac{1}{-\frac{12}{13}} = -\frac{13}{12}\)

\(cotθ = \frac{1}{tanθ} = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5}\)

\(cosecθ = \frac{1}{sinθ} = \frac{1}{\frac{5}{13}} = \frac{13}{5}\)

আমরা জানি, sec(-θ) = secθ এবং cosec(-θ) = -cosecθ

সুতরাং, sec(-θ) = -\(\frac{13}{12}\) এবং cosec(-θ) = -\(\frac{13}{5}\)

এখন, \(\frac{tanθ + sec(-θ)}{cotθ + cosec(-θ)}\) এর মান বের করি।

\(\frac{tanθ + sec(-θ)}{cotθ + cosec(-θ)} = \frac{-\frac{5}{12} - \frac{13}{12}}{-\frac{12}{5} - \frac{13}{5}} = \frac{-\frac{18}{12}}{-\frac{25}{5}} = \frac{-\frac{3}{2}}{-5} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}\)

অতএব, \(\frac{tanθ + sec(-θ)}{cotθ + cosec(-θ)}\) এর মান \(\frac{3}{10}\)। 🎉