\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & k \end{bmatrix} \) নির্ণায়কের মান 2 হলে, \( k \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & k & 0 \end{bmatrix} \] এবং নির্ণায়ক \( \det(A) = 2 \) হলে, \(k\) এর মান কত? --- সমাধান: প্রথমে, দেওয়া ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করি: \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & k & 0 \end{vmatrix} \] এখানে, তৃতীয় কলামের প্রথম উপাদানটি 1, দ্বিতীয়টি 1, এবং তৃতীয়টি 0। আমরা এই নির্ণায়ক হিসাব করতে পারি কৌণিক পদ্ধতিতে: \[ \det(A) = 1 \times \det \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ k & 0 \end{bmatrix} - 1 \times \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} + 1 \times \det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & k \end{bmatrix} \] এখন, প্রত্যেক 2x2 উপ-ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্ট হিসাব করি: 1. \(\det \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ k & 0 \end{bmatrix} = (3 \times 0) - (1 \times k) = -k\) 2. \(\det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = (2 \times 0) - (1 \times 4) = -4\) 3. \(\det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & k \end{bmatrix} = (2 \times k) - (3 \times 4) = 2k - 12\) অতএব, \[ \det(A) = 1 \times (-k) - 1 \times (-4) + 1 \times (2k - 12) = -k + 4 + 2k - 12 \] সাধারণীকরণ করি: \[ \det(A) = (-k + 2k) + (4 - 12) = k - 8 \] প্রদান অনুযায়ী, \[ \det(A) = 2 \] অর্থাৎ, \[ k - 8 = 2 \] অতএব, \[ k = 2 + 8 = 10 \] --- উত্তর: **\(k = 10\)** (প্রশ্নে দেওয়া "6" উত্তরটি সঠিক নয়। তবে, সমাধান অনুযায়ী \(k\) এর মান 10।)