√i + √-i এর পরম মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\sqrt{i} + \sqrt{-i}\) এর পরম মান কত?

প্রথমে, আমাদের জানতে হবে \(\sqrt{i}\) এবং \(\sqrt{-i}\) এর মান।

ধাপ ১: \(\sqrt{i}\) নির্ণয়

ধরি, \(\sqrt{i} = a + bi\)। তাহলে,

\( (a + bi)^2 = i \)

এখন, স্কোয়ার করে নিই:

\(a^2 + 2abi + (bi)^2 = i\)

\(a^2 + 2abi - b^2 = i\)

অর্থাৎ, বাস্তব অংশ: \(a^2 - b^2 = 0\) আঞ্চল???ক অংশ: \(2ab = 1\) এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে পাই: \[ a^2 = b^2 \Rightarrow a = \pm b \] ধরি, \(a = b\), তাহলে: \[ 2ab = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \] অর্থাৎ, \[ a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] অতএব, \(b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) এখন, উপযুক্ত মান নির্বাচন করি। কারণ, \(\sqrt{i}\) এর মানে, আমরা জানি যে \(\sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\) বা \(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\)। সুতরাং, \[ \sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \]

ধাপ ২: \(\sqrt{-i}\) নির্ণয়

\[ \sqrt{-i} \] তাহলে, \(-i = e^{-i\pi/2}\) অর্থাৎ, \[ \sqrt{-i} = e^{-i\pi/4} = \cos(-\pi/4) + i \sin(-\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \] অথবা, \[ \sqrt{-i} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) \]

ধাপ ৩: যোগফল নির্ণয়

সাধারণত, মূল মানগুলো নি:সন্দেহে গ্রহণ করলে, \[ \sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \] এবং, \[ \sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) \] তাহলে, \[ \sqrt{i} + \sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) + \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i + 1 - i) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = \sqrt{2} \] অন্যদিকে, যদি নেতিবাচক মানগুলো নিই, তাহলে, \[ -\frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) + -\frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i + 1 - i) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = -\sqrt{2} \] অতএব, মূল মানের পরম মান হতে পারে \(\pm \sqrt{2}\)। প্রশ্নে উল্লেখ আছে, পরম মান, অর্থাৎ সর্বোচ্চ মান। তাই, উত্তরের পরম মান হলো: \[ \boxed{\pm \sqrt{2}} \] উত্তর: \(\pm \sqrt{2}\)