\( f(x) = \begin{cases} x^2, & x > 0 \ 1, & x = 0 \ x, & x < 0 \end{cases} \) হলে, \( \lim_{x \to 0} f(x) \) এর মান কত?

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\( \lim_{x \to 0} f(x) \) এর মান নির্ণয় করতে, আমাদের বাম সীমা (left-hand limit) এবং ডান সীমা (right-hand limit) বের করতে হবে।

ডান সীমা:

কারণ, যখন \( x > 0 \), তখন \( f(x) = x^2 \)।

বাম সীমা:

কারণ, যখন \( x < 0 \), তখন \( f(x) = x \)।

যেহেতু বাম সীমা এবং ডান সীমা উভয়েই সমান:

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \) 🥳।

উল্লেখ্য যে, \( f(0) = 1 \), কিন্তু ফাংশনের লিমিট \( x = 0 \) বিন্দুতে ফাংশনের মানের উপর নির্ভর করে না। লিমিট শুধুমাত্র \( x \), 0 এর কাছাকাছি পৌঁছালে ফাংশনটি কোন মানের দিকে যায়, তার উপর নির্ভর করে। 🤔

অতএব, উত্তর: \( 0 \)।