3 int_0^(pi/2)sin3xe^(cos3x)dx=? 

প্রশ্ন: \( 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(3x) e^{\cos(3x)} dx = ? \)

সমাধান:

ধরি, \( u = \cos(3x) \). তাহলে, \( \frac{du}{dx} = -3\sin(3x) \). সুতরাং, \( du = -3\sin(3x) dx \).

অতএব, \( 3\sin(3x) dx = -du \).

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \cos(0) = 1 \). এবং যখন \( x = \frac{\pi}{2} \), তখন \( u = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \).

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin(3x) e^{\cos(3x)} dx = \int_{1}^{0} e^{u} (-du) = - \int_{1}^{0} e^{u} du \)

\(= \int_{0}^{1} e^{u} du = [e^{u}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1 \)

অতএব, \( 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(3x) e^{\cos(3x)} dx = e - 1 \).

উত্তর: \( e - 1 \) 🎉