x²+7x+k=0, সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে,k =?

প্রশ্ন: \(x^2 + 7x + k = 0\) সমীকরণের দুই মূল সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরা যাক, সমীকরণের দুই মূল \( \alpha \) ও \( \beta \)। যেহেতু মূলদ্বয় সমান, তাহলে:

\( \alpha = \beta \)

এখন, সমীকরণের মূলের সম্পর্ক অনুযায়ী, মূলদ্বয় সমান হলে:

• মূলদ্বয়: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• মূলের গুণফল: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

এখানে, সমীকরণ \(x^2 + 7x + k = 0\) এর জন্য, \(a=1\), \(b=7\), এবং \(c=k\)।

যেহেতু মূলদ্বয় সমান, তাহলে:

\( \alpha = \beta \)

অর্থাৎ, মূলের গুণফল এবং যোগফল একই মূলের উপর ভিত্তি করে:

মূলের গুণফল: \( \alpha \times \alpha = \alpha^2 = \frac{k}{1} = k \)

মূলের যোগফল: \( \alpha + \alpha = 2\alpha = -\frac{7}{1} = -7 \)

অর্থাৎ,

এখন, মূলের গুণফল থেকে:

অর্থাৎ,

উত্তর: \( \boxed{\frac{49}{4}} \)