যদি y=sin3xcos2x তবে y_n এর মান নীচের কোনটি?

দেওয়া আছে, \(y = \sin 3x \cos 2x\).

আমরা জানি, \(2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)\).

সুতরাং, \(y = \frac{1}{2} [2\sin 3x \cos 2x] = \frac{1}{2} [\sin(3x+2x) + \sin(3x-2x)]\)

\(\implies y = \frac{1}{2} [\sin 5x + \sin x]\)

এখন, \(y_n\) নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, যদি \(y = \sin ax\) হয়, তবে \(y_n = a^n \sin(ax + \frac{n\pi}{2})\).

সুতরাং,

\(y_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{d^n}{dx^n} (\sin 5x) + \frac{d^n}{dx^n} (\sin x) \right]\)

\(\implies y_n = \frac{1}{2} \left[ 5^n \sin(5x + \frac{n\pi}{2}) + 1^n \sin(x + \frac{n\pi}{2}) \right]\)

\(\implies y_n = \frac{1}{2} \left[ 5^n \sin(\frac{n\pi}{2} + 5x) + \sin(\frac{n\pi}{2} + x) \right]\)

অতএব, \(y_n = \frac{1}{2} \left[ 5^n \sin(\frac{n\pi}{2} + 5x) + \sin(\frac{n\pi}{2} + x) \right]\) 🎉🎉।

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল: \( \frac{1}{2} [5^n \sin(\frac{n\pi}{2} + 5x) + \sin(\frac{n\pi}{2} + x)] \). 🥳