y = (sin^-1x)² হলে নিচের কোনটি সঠিক ?

প্রশ্ন: \( y = (\sin^{-1} x)^2 \) হলে নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর: \((1 - x^2) y_2 - x y_1 - 2 = 0\)

সমাধান:

1. প্রথমত, \( y = (\sin^{-1} x)^2 \)
2. প্রথম ডেরিভেটিভ, \( y_1 = \frac{dy}{dx} \):
\begin{align*} y_1 &= 2 \sin^{-1} x \times \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) \\ &= 2 \sin^{-1} x \times \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{align*}

অর্থাৎ,

\[ y_1 = \frac{2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \]
3. দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, \( y_2 = \frac{d y_1}{dx} \):
\begin{align*} y_2 &= \frac{d}{dx} \left( \frac{2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \\ &= 2 \times \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \end{align*}

এখন, দুইটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য, প্রোডাক্ট রুল ব্যবহার করি:

\[ \frac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = u' v + u v' \] যেখানে, \( u = \sin^{-1} x \), \( v = (1 - x^2)^{-1/2} \)

প্রথম, \( u' \):

\[ u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

এবং, \( v \):

\[ v = (1 - x^2)^{-1/2} \] অতএব, \[ v' = -\frac{1}{2} (1 - x^2)^{-3/2} \times (-2x) = x (1 - x^2)^{-3/2} \]

অতএব,

\begin{align*} y_2 &= 2 \left[ u' v + u v' \right] \\ &= 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \times (1 - x^2)^{-1/2} + \sin^{-1} x \times x (1 - x^2)^{-3/2} \right] \\ &= 2 \left[ (1 - x^2)^{-1} + \sin^{-1} x \times x (1 - x^2)^{-3/2} \right] \end{align*}

সাধারণত, \( (1 - x^2)^{-1} = \frac{1}{1 - x^2} \) এবং

\[ (1 - x^2)^{-3/2} = \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} \]

এখন, মূল সমীকরণে, \((1 - x^2) y_2 - x y_1 - 2 = 0\)

প্রতিস্থাপন করি,

\begin{align*} (1 - x^2) y_2 &= (1 - x^2) \times 2 \left[ \frac{1}{1 - x^2} + \sin^{-1} x \times x (1 - x^2)^{-3/2} \right] \\ &= 2 \left[ 1 + \sin^{-1} x \times x (1 - x^2)^{-1/2} \right] \end{align*} এবং, \[ x y_1 = x \times \frac{2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} = 2 x \sin^{-1} x (1 - x^2)^{-1/2} \] অতএব, \begin{align*} (1 - x^2) y_2 - x y_1 - 2 &= 2 \left[ 1 + \sin^{-1} x \times x (1 - x^2)^{-1/2} \right] - 2 x \sin^{-1} x (1 - x^2)^{-1/2} - 2 \\ &= 2 - 2 + 0 \\ &= 0 \end{align*} সুতরাং, সমীকরণটি সত্য।