2x + ky - 1 = 0 রেখাটি x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করে, k এর মান নির্ণয় কর।

বৃত্ত এবং স্পর্শকের সমীকরণ

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0 \)
এবং সরলরেখার সমীকরণ: \( 2x + ky - 1 = 0 \)

বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয়

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\( 2g = -4 \Rightarrow g = -2 \)
\( 2f = -2 \Rightarrow f = -1 \)
\( c = 4 \)

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (2, 1) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{4 + 1 - 4} = 1 \)

স্পর্শকের শর্ত

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

কেন্দ্র \( (2, 1) \) থেকে \( 2x + ky - 1 = 0 \) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,

\( d = \frac{|2(2) + k(1) - 1|}{\sqrt{2^2 + k^2}} = \frac{|4 + k - 1|}{\sqrt{4 + k^2}} = \frac{|k + 3|}{\sqrt{4 + k^2}} \)

যেহেতু \( d = r = 1 \), তাই

\( \frac{|k + 3|}{\sqrt{4 + k^2}} = 1 \)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\( (k + 3)^2 = 4 + k^2 \)
\( k^2 + 6k + 9 = 4 + k^2 \)
\( 6k = -5 \)
\( k = -\frac{5}{6} \)

ফলাফল

সুতরাং, \( k \) এর মান \( -\frac{5}{6} \). 🎉