Find the equation(s) of tangent (s) from the origin to the circle x²+y²-5x-5y+10 = 0 

বৃত্তের স্পর্শক নির্ণয়

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 5x - 5y + 10 = 0\)

বৃত্তের কেন্দ্র \((\frac{5}{2}, \frac{5}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 - 10} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} - 10} = \sqrt{\frac{50-40}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\)

ধরি, মূলবিন্দু (0,0) থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(y = mx\)

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

\(\therefore \frac{|\frac{5}{2}m - \frac{5}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\implies \frac{25}{4} (m-1)^2 = \frac{10}{4} (m^2 + 1)\)

\(\implies 25(m^2 - 2m + 1) = 10(m^2 + 1)\)

\(\implies 25m^2 - 50m + 25 = 10m^2 + 10\)

\(\implies 15m^2 - 50m + 15 = 0\)

\(\implies 3m^2 - 10m + 3 = 0\)

\(\implies 3m^2 - 9m - m + 3 = 0\)

\(\implies 3m(m - 3) - 1(m - 3) = 0\)

\(\implies (3m - 1)(m - 3) = 0\)

\(\therefore m = 3, \frac{1}{3}\)

সুতরাং, স্পর্শকগুলোর সমীকরণ:

\(y = 3x \implies 3x - y = 0\)

এবং \(y = \frac{1}{3}x \implies x - 3y = 0\)

অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \(3x - y = 0\) এবং \(x - 3y = 0\)। 🎉