[(7,6),(8,7)] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্স হলো: \[ A = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} \] বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}\) নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে ডিটারমিন্যান্ট \( \det(A) \) নির্ণয় করি: \[ \det(A) = (7)(7) - (6)(8) = 49 - 48 = 1 \] যেহেতু ডিটারমিন্যান্ট 1, তাই ম্যাট্রিক্সটিInvertible (উলটনযোগ্য)। বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সূত্র: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A) \] অ্যাজ্যাঞ্জ ম্যাট্রিক্স (adjugate matrix) পাওয়ার জন্য, প্রথমে ম্যাট্রিক্সের কৌণিক মিনর নির্ণয় করি। \[ \text{Minors}: \begin{cases} M_{11} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} = 7 \\ M_{12} = \det \begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix} = 8 \\ M_{21} = \det \begin{bmatrix} 6 \end{bmatrix} = 6 \\ M_{22} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} = 7 \end{cases} \] এখানে, মিনরগুলো মূল ম্যাট্রিক্সের উপাদানের উপর ভিত্তি করে নয়। সঠিকভাবে মিনর নির্ণয়: \[ \text{Minors}: \begin{cases} M_{11} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 7)} \\ M_{12} = \det \begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 8)} \\ M_{21} = \det \begin{bmatrix} 6 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 6)} \\ M_{22} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 7)} \end{cases} \] তবে, মিনর নির্ণয় করতে হলে, মূল ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের জন্য 2x2 উপ-ম্যাট্রিক্স থেকে ডিটারমিন্যান্ট নেওয়া হয়। কারণ, আমাদের ম্যাট্রিক্স 2x2, মিনর নির্ণয় সরাসরি উপাদানের উপর নির্ভর করে। অতএব, প্রতিটি মিনর: \[ \begin{cases} M_{11} = \det \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = 49 - 48 = 1 \\ M_{12} = \det \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = (8)(7) - (7)(8) = 56 - 56 = 0 \\ M_{21} = \det \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 7 & 7 \end{bmatrix} = (6)(7) - (7)(7) = 42 - 49 = -7 \\ M_{22} = \det \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = 49 - 48 = 1 \end{cases} \] সুতরাং, cofactor matrix: \[ \text{Cofactors} = \begin{bmatrix} (+1) & (-0) \\ (+7) & (+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \] অ্যাজ্যাঞ্জ ম্যাট্রিক্স (adjugate): \[ \text{adj}(A) = \text{transpose of cofactor matrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] বিপরীত ম্যাট্রিক্স: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A) = 1 \times \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] তবে, এই ফলাফলটি মূল ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নয় কারণ উপরের গণনায় কিছু ভুল হয়েছে। আসল গণনাটি সঠিকভাবে করতে হলে, 2x2 ম্যাট্রিক্সের ইনভার্সের জন্য সরাসরি সূত্র ব্যবহার করি: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] যেখানে, \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \] আমাদের ক্ষেত্রে: \[ a=7, \quad b=6, \quad c=8, \quad d=7 \] অতএব, \[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ -8 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ -8 & 7 \end{bmatrix} \] এখন, মূল প্রশ্নে উল্লেখিত বিকল্পের সাথে তুলনা করলে, উত্তর হয়: \[ [(7, -6), (-8, 7)] \] যা সঠিক। **অতএব, উত্তর:** \[ \boxed{[(7, -6), (-8, 7)]} \]