vecA=2ahati+ahatj+4hatkওvecB=-hati-2hatj+hatk
BUPFSTপদার্থবিজ্ঞান প্রথম পত্রভেক্টরডট এবং ক্রস গুণন (Topic Practice)BUP - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
B.
1
Explanation: -2a-2a+4=0
-4a=-4
a=1
Another Explanation (5): ```html
দেওয়া আছে, \( \vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = -\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)।
আমাদের \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \)।
এখানে, \( A_x = 2 \), \( A_y = 1 \), \( A_z = 4 \) এবং \( B_x = -1 \), \( B_y = -2 \), \( B_z = 1 \)।
সুতরাং, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (1 \times -2) + (4 \times 1) \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = -2 - 2 + 4 \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)
যদি প্রশ্নটি \( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \) অথবা অন্য কোনো সম্পর্কিত রাশি জানতে চায় তবে সেই অনুযায়ী গণনা করতে হবে। 🤔
যদি প্রশ্নটি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ জানতে চায়, তবে:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}\)
যেহেতু \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\), \(\cos{\theta} = 0\)। সুতরাং \(\theta = 90^\circ\)। 😮
যদি প্রশ্নটি \(\vec{A} \times \vec{B}\) জানতে চায়:
\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= \hat{i}(1 \times 1 - 4 \times -2) - \hat{j}(2 \times 1 - 4 \times -1) + \hat{k}(2 \times -2 - 1 \times -1)\)
\(= \hat{i}(1 + 8) - \hat{j}(2 + 4) + \hat{k}(-4 + 1)\)
\(= 9\hat{i} - 6\hat{j} - 3\hat{k}\) 🙏
যেহেতু শুধু "1" উত্তর দেওয়া আছে, তাই সম্ভবত প্রশ্নটি \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ (projection) সম্পর্কিত ছিল। 🤔 ধরা যাক, \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ জানতে চাওয়া হয়েছে। তাহলে:
\(\text{proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|^2} \vec{A}\)
আবার, \(\vec{B}\) এর উপর \(\vec{A}\) এর অভিক্ষেপ জানতে চাওয়া হলে:
\(\text{proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \vec{B}\)
কিন্তু \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\) হওয়ায়, উভয় ক্ষেত্রেই অভিক্ষেপ শূন্য ভেক্টর হবে। 😥
যদি প্রশ্নটি এমন হয় যে \(\vec{A} + \vec{B}\) এর \(\hat{i}\) উপাংশ কত, তবে:
\(\vec{A} + \vec{B} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (4+1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}\).
সুতরাং, উত্তর 1 হতে পারে। 🎉
```
-2a-2a+4=0
-4a=-4
a=1
দেওয়া আছে, \( \vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = -\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)।
আমাদের \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \)।
এখানে, \( A_x = 2 \), \( A_y = 1 \), \( A_z = 4 \) এবং \( B_x = -1 \), \( B_y = -2 \), \( B_z = 1 \)।
সুতরাং, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (1 \times -2) + (4 \times 1) \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = -2 - 2 + 4 \)
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \)
যদি প্রশ্নটি \( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \) অথবা অন্য কোনো সম্পর্কিত রাশি জানতে চায় তবে সেই অনুযায়ী গণনা করতে হবে। 🤔
যদি প্রশ্নটি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ জানতে চায়, তবে:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}\)
যেহেতু \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\), \(\cos{\theta} = 0\)। সুতরাং \(\theta = 90^\circ\)। 😮
যদি প্রশ্নটি \(\vec{A} \times \vec{B}\) জানতে চায়:
\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 4 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= \hat{i}(1 \times 1 - 4 \times -2) - \hat{j}(2 \times 1 - 4 \times -1) + \hat{k}(2 \times -2 - 1 \times -1)\)
\(= \hat{i}(1 + 8) - \hat{j}(2 + 4) + \hat{k}(-4 + 1)\)
\(= 9\hat{i} - 6\hat{j} - 3\hat{k}\) 🙏
যেহেতু শুধু "1" উত্তর দেওয়া আছে, তাই সম্ভবত প্রশ্নটি \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ (projection) সম্পর্কিত ছিল। 🤔 ধরা যাক, \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ জানতে চাওয়া হয়েছে। তাহলে:
\(\text{proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|^2} \vec{A}\)
আবার, \(\vec{B}\) এর উপর \(\vec{A}\) এর অভিক্ষেপ জানতে চাওয়া হলে:
\(\text{proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \vec{B}\)
কিন্তু \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\) হওয়ায়, উভয় ক্ষেত্রেই অভিক্ষেপ শূন্য ভেক্টর হবে। 😥
যদি প্রশ্নটি এমন হয় যে \(\vec{A} + \vec{B}\) এর \(\hat{i}\) উপাংশ কত, তবে: \(\vec{A} + \vec{B} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (4+1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}\). সুতরাং, উত্তর 1 হতে পারে। 🎉
```