কোন বিন্দুতে \( y = 2x^2 + x + 1 \) বক্ররেখার স্পর্শক \( 5x - y + 5 = 0 \) রেখার সমান্তরাল হবে?

Explanation: ব্যাখ্যা: কোনো বক্ররেখার সমীকরণকে একবার অন্তর্গতকরণ করলে সেই বক্ররেখার যেকোনো বিন্দুতে অক্ষের স্পর্শকের ঢাল বের হয়, অর্থাৎ Differentiation করা মানেই ঢাল বের করা। \(\frac{dy}{dx} = \text{ঢাল}\) প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণটিকে একবার অন্তর্গতকরণ করে যে ঢাল পাওয়া যাবে তা সমান \(5x - y + 5 = 0\) সরলরেখার ঢাল লিখে solve করলেই \(x\) এর মান পাওয়া যাবে। এরপরে \(x\) এর মান মূল সমীকরণে বসালে \(y\) এর মান পাওয়া যাবে, যা-ই হচ্ছে নির্দিষ্ট বিন্দু। \(5x - y + 5 = 0\) বা \(y = 5x + 5\) রেখার ঢাল = \(5\) আবার, \(y = 2x^2 + x + 1 \implies \frac{dy}{dx} = 4x + 1,\) যা স্পর্শকের ঢাল। যেহেতু দুটি সমাধানের রেখার ঢাল এক, তাই \(4x + 1 = 5 \implies x = 1\) \(x = 1\), মূল সমীকরণে বসিয়ে, \(y = 2 \cdot 1^2 + 1 + 1 = 4 \implies y = 4\) By Calculator: \(5x - y + 5 = 0\) সরলরেখার ঢাল = \(5\) Option থেকে \(x\) এর যে মানের জন্য \(y = 2x^2 + x + 1\) ফাংশনটির ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে Differentiation করলে \(5\) আসবে সেটাই Ans. (A) এর জন্য By Calculator, \(\frac{dy}{dx} = 1\) (B) এর জন্য By Calculator, \(\frac{dy}{dx} = 5,\) অর্থাৎ (B) ই Ans.

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( y = 2x^2 + x + 1 \) একটি বক্ররেখা। \( 5x - y + 5 = 0 \) সরলরেখাটির নতি (\(m_1\)) নির্ণয় করি। \( 5x - y + 5 = 0 \) \( \implies y = 5x + 5 \) সুতরাং, রেখাটির নতি, \( m_1 = 5 \) যেহেতু বক্ররেখার স্পর্শক \( 5x - y + 5 = 0 \) রেখার সমান্তরাল, তাই স্পর্শকের নতি (\(m\)) \( 5x - y + 5 = 0 \) রেখার নতির সমান হবে। অর্থাৎ, \( m = m_1 = 5 \) এখন, \( y = 2x^2 + x + 1 \) বক্ররেখাটির \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করি। \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2x^2 + x + 1) \) \( \implies \frac{dy}{dx} = 4x + 1 \) আমরা জানি, \( \frac{dy}{dx} \) হলো বক্ররেখার স্পর্শকের নতি। সুতরাং, \( 4x + 1 = 5 \) \( \implies 4x = 5 - 1 \) \( \implies 4x = 4 \) \( \implies x = 1 \) এখন, \( x = 1 \) হলে \( y \) এর মান বের করি। \( y = 2(1)^2 + 1 + 1 \) \( \implies y = 2 + 1 + 1 \) \( \implies y = 4 \) সুতরাং, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (1, 4) \) 🥳🎉