\( 5x-7y=15 \) রেখার উপর লম্ব এবং (2,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া রেখার সমীকরণ হলো:

\[ 5x - 7y = 15 \]

ধাপ ১: রেখার ঢাল নির্ণয়

রেখার সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখি:

\[ 5x - 7y = 15 \]

এখন, এই সমীকরণ থেকে y এর জন্য সমাধান করি:

\[ 5x - 15 = 7y \]

\[ y = \frac{5x - 15}{7} \]

অর্থাৎ, ঢাল (slope) \(m_1\):

\[ m_1 = \frac{d}{dx} \left( \frac{5x - 15}{7} \right) = \frac{5}{7} \]

ধাপ ২: লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয়

দ্বিতীয় রেখা লম্ব, তাই এর ঢাল হবে প্রথম রেখার ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত সংখ্যা:

\[ m_2 = - \frac{7}{5} \]

ধাপ ৩: লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয়

বিন্দু \( (2, -3) \) দিয়ে লম্ব রেখার ঢাল \( m_2 = - \frac{7}{5} \) এর সমীকরণ:

\[ y - y_1 = m (x - x_1) \]

এখানে, \( x_1 = 2 \), \( y_1 = -3 \), \( m = - \frac{7}{5} \):

\[ y - (-3) = - \frac{7}{5} (x - 2) \]

\[ y + 3 = - \frac{7}{5} x + \frac{14}{5} \]

ধাপ ৪: সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর

এখন, উভয় পাশ 5 দিয়ে গুণ করি:

\[ 5y + 15 = -7x + 14 \]

এখন, সবপাশে 7x এবং 5y কে স্থানান্তর করি:

\[ 7x + 5y + 15 - 14 = 0 \]

সরলীকরণে পাই:

\[ 7x + 5y + 1 = 0 \]

উত্তর:

সুতরাং, লম্ব রেখার সমীকরণ হলো:

\[ \boxed{7x + 5y + 1 = 0} \]