\( 5x-7y=15 \) রেখার উপর লম্ব এবং (2,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
সমাধান:
প্রথমে, আমাদের দেওয়া রেখার সমীকরণ হলো:
\[ 5x - 7y = 15 \]
ধাপ ১: রেখার ঢাল নির্ণয়
রেখার সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখি:
\[ 5x - 7y = 15 \]
এখন, এই সমীকরণ থেকে y এর জন্য সমাধান করি:
\[ 5x - 15 = 7y \]
\[ y = \frac{5x - 15}{7} \]
অর্থাৎ, ঢাল (slope) \(m_1\):
\[ m_1 = \frac{d}{dx} \left( \frac{5x - 15}{7} \right) = \frac{5}{7} \]
ধাপ ২: লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয়
দ্বিতীয় রেখা লম্ব, তাই এর ঢাল হবে প্রথম রেখার ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত সংখ্যা:
\[ m_2 = - \frac{7}{5} \]
ধাপ ৩: লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয়
বিন্দু \( (2, -3) \) দিয়ে লম্ব রেখার ঢাল \( m_2 = - \frac{7}{5} \) এর সমীকরণ:
\[ y - y_1 = m (x - x_1) \]
এখানে, \( x_1 = 2 \), \( y_1 = -3 \), \( m = - \frac{7}{5} \):
\[ y - (-3) = - \frac{7}{5} (x - 2) \]
\[ y + 3 = - \frac{7}{5} x + \frac{14}{5} \]
ধাপ ৪: সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর
এখন, উভয় পাশ 5 দিয়ে গুণ করি:
\[ 5y + 15 = -7x + 14 \]
এখন, সবপাশে 7x এবং 5y কে স্থানান্তর করি:
\[ 7x + 5y + 15 - 14 = 0 \]
সরলীকরণে পাই:
\[ 7x + 5y + 1 = 0 \]
উত্তর:
সুতরাং, লম্ব রেখার সমীকরণ হলো:
\[ \boxed{7x + 5y + 1 = 0} \]