|[x+y, x, y], [x, x+z, z],[y, z, y+z]|=? 

প্রশ্ন: |[x+y, x, y], [x, x+z, z],[y, z, y+z]|=?

সমাধান:

নির্ণায়কের মান নির্ণয়:

ধরি, \( D = \begin{vmatrix} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \)

প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি বিয়োগ করে পাই,

\( D = \begin{vmatrix} y & -z & y-z \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \)

দ্বিতীয় সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করে পাই,

\( D = \begin{vmatrix} y & -z & y-z \\ x-y & x & -y \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \)

\(C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3 \) করে পাই,

\( D = \begin{vmatrix} 2y-2z & -z & y-z \\ 0 & x & -y \\ 2y+2z & z & y+z \end{vmatrix} \)

\(D = \begin{vmatrix} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix}\)

\(C_1 \rightarrow C_1 - C_2 - C_3 \) করে পাই,

\(D = \begin{vmatrix} y+x-x-y & x & y \\ x-x-z-z & x+z & z \\ y-z-y-z & z & y+z \end{vmatrix}\)

\(D = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -2z & x+z & z \\ -2z & z & y+z \end{vmatrix}\)

এখন প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,

\(D = 0 - x \begin{vmatrix} -2z & z \\ -2z & y+z \end{vmatrix} + y \begin{vmatrix} -2z & x+z \\ -2z & z \end{vmatrix}\)

\(D = -x[-2z(y+z) - (-2z)z] + y[-2z(z) - (-2z)(x+z)]\)

\(D = -x[-2zy - 2z^2 + 2z^2] + y[-2z^2 + 2zx + 2z^2]\)

\(D = -x(-2zy) + y(2zx)\)

\(D = 2xyz + 2xyz\)

\(D = 4xyz\)

অতএব, নির্ণায়কের মান \( 4xyz \)। 🎉