k এর কোন মানের জন্য[[1,1,1],[1,k,k^2],[1,k^2,k^4]] নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে না?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

দেওয়া আছে, নির্ণায়কটি হল:

\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & k^2 \\ 1 & k^2 & k^4 \end{vmatrix} \]

নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে না, তার জন্য k এর মান নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে নির্ণায়কটির মান বের করি:

\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & k^2 \\ 1 & k^2 & k^4 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} k & k^2 \\ k^2 & k^4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & k^2 \\ 1 & k^4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & k \\ 1 & k^2 \end{vmatrix} \] \[ = (k \cdot k^4 - k^2 \cdot k^2) - (1 \cdot k^4 - 1 \cdot k^2) + (1 \cdot k^2 - 1 \cdot k) \] \[ = (k^5 - k^4) - (k^4 - k^2) + (k^2 - k) \] \[ = k^5 - k^4 - k^4 + k^2 + k^2 - k \] \[ = k^5 - 2k^4 + 2k^2 - k \] \[ = k(k^4 - 2k^3 + 2k - 1) \] \[ = k(k - 1)(k^3 - k^2 - k + 1) \] \[ = k(k - 1)[k^2(k - 1) - 1(k - 1)] \] \[ = k(k - 1)(k - 1)(k^2 - 1) \] \[ = k(k - 1)(k - 1)(k - 1)(k + 1) \] \[ = k(k - 1)^3(k + 1) \]

নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে না, যদি \( k(k - 1)^3(k + 1) \neq 0 \) হয়।

সুতরাং, \( k \neq 0 \), \( k \neq 1 \) এবং \( k \neq -1 \) হতে হবে।

অর্থাৎ, k এর মান 0, 1, অথবা -1 হলে নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে। সুতরাং, k এর মান 0, 1, -1 ব্যতীত অন্য যেকোনো মান হলে নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে না।

অতএব, k = 3 হলে নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে না। 🎉

```