\( \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + x & 1 \\ 1 & 1 + y & 1 \end{matrix} \right| = ? \)

প্রথমে, ডিটারমিন্যান্টের জন্য ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করি:

\( 
\left| 
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 + x & 1 \\
1 & 1 + y & 1 
\end{matrix}
\right| 
\)

ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করতে, আমরা প্রথম সারিটি ব্যবহার করব।

ডিটারমিন্যান্টের সূত্র:

\(D = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot M_{13}\)

এখানে, \(a_{ij}\) হলো মূল উপাদান এবং \(M_{ij}\) হলো তার ট্রিম্যানেট।

সুতরাং,

D = 1 \cdot \left| 
\begin{matrix}
1 + x & 1 \\
1 + y & 1 
\end{matrix}
\right| 
- 1 \cdot \left| 
\begin{matrix}
1 & 1 \\
1 + y & 1 
\end{matrix}
\right| 
+ 1 \cdot \left| 
\begin{matrix}
1 & 1 + x \\
1 & 1 + y 
\end{matrix}
\right|

এখন, প্রত্যেক ছোট ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করি:

\left| 
\begin{matrix}
1 + x & 1 \\
1 + y & 1 
\end{matrix}
\right| 
= (1 + x) \cdot 1 - 1 \cdot (1 + y) = (1 + x) - (1 + y) = x - y

\left| 
\begin{matrix}
1 & 1 \\
1 + y & 1 
\end{matrix}
\right| 
= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (1 + y) = 1 - (1 + y) = - y

\left| 
\begin{matrix}
1 & 1 + x \\
1 & 1 + y 
\end{matrix}
\right| 
= 1 \cdot (1 + y) - (1 + x) \cdot 1 = (1 + y) - (1 + x) = y - x

D = 1 \cdot (x - y) - 1 \cdot (- y) + 1 \cdot (y - x) = (x - y) + y + y - x = (x - y - x) + (y + y) = - y + 2 y = y

D = xy

অতএব, ডিটারমিন্যান্টের মান হল xy।