A=[(1,1,1),(e,π,sqrt3),(3,3,3)] হলে, |A| = ?

প্রথমে, ম্যাট্রিক্স A:
\[A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
e & \pi & \sqrt{3} \\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}\]

ডিটারমিন্যান্ট গণনা করব:

|A| = 
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
e & \pi & \sqrt{3} \\
3 & 3 & 3
\end{vmatrix}
\]

অবকাশে, প্রথম সারি থেকে ডিটারমিন্যান্টের মান:

|A| = \(1 \times \begin{vmatrix} \pi & \sqrt{3} \\ 3 & 3 \end{vmatrix}
- 1 \times \begin{vmatrix} e & \sqrt{3} \\ 3 & 3 \end{vmatrix}
+ 1 \times \begin{vmatrix} e & \pi \\ 3 & 3 \end{vmatrix}\)

প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট গণনা করি:

\(\begin{vmatrix} \pi & \sqrt{3} \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = \pi \times 3 - \sqrt{3} \times 3 = 3\pi - 3\sqrt{3}\)

\(\begin{vmatrix} e & \sqrt{3} \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = e \times 3 - \sqrt{3} \times 3 = 3e - 3\sqrt{3}\)

\(\begin{vmatrix} e & \pi \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = e \times 3 - \pi \times 3 = 3e - 3\pi\)

এখন, মূল ডিটারমিন্যান্ট:

|A| = \(1 \times (3\pi - 3\sqrt{3}) - 1 \times (3e - 3\sqrt{3}) + 1 \times (3e - 3\pi)\)

= \(3\pi - 3\sqrt{3} - 3e + 3\sqrt{3} + 3e - 3\pi\)

সবগুলো টার্ম যোগ করলে:

\(3\pi - 3\pi + (-3e + 3e) + (-3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 0\)

অতএব, ডিটারমিন্যান্টের মান:

\(\boxed{0}\)