[[1+a,1,1],[1,1+b,1],[1,1,1+c]] এর মান কত? 

প্রশ্ন: \( \begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix} \) এর মান কত?

সমাধান:

ধরি, \( \Delta = \begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix} \)

\( R_1 \rightarrow R_1 - R_2 \) এবং \( R_2 \rightarrow R_2 - R_3 \) প্রয়োগ করে পাই,

\( \Delta = \begin{vmatrix} a & -b & 0 \\ 0 & b & -c \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix} \)

প্রথম সারি \( (R_1) \) বরাবর বিস্তার করে পাই,

\( \Delta = a \begin{vmatrix} b & -c \\ 1 & 1+c \end{vmatrix} - (-b) \begin{vmatrix} 0 & -c \\ 1 & 1+c \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & b \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \)

\( = a[b(1+c) - (-c)(1)] + b[0(1+c) - (-c)(1)] + 0 \)

\( = a[b + bc + c] + b[0 + c] \)

\( = ab + abc + ac + bc \)

\( = abc + ab + bc + ca \)

অতএব, \( \begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix} = abc + ab + bc + ca \)

সুতরাং, উত্তর: \( abc + ab + bc + ca \) 🥳