|(a,1,b+c),(b,1,c+a),(c,1,a+b)| এর মান কত?
সঠিক উত্তরঃ
D.
0
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\left| \begin{array}{ccc}
a & 1 & b + c \\
b & 1 & c + a \\
c & 1 & a + b \\
\end{array} \right|\) এর মান কত?
উত্তর: 0
সমাধান:
প্রথমে ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি:
\[
D = \left| \begin{array}{ccc}
a & 1 & b + c \\
b & 1 & c + a \\
c & 1 & a + b \\
\end{array} \right|
\]
ডিটারমিন্যান্টের মান হিসাব করতে, প্রথম সারির উপাদানগুলো ধরে প্রথম কলাম থেকে উপ-ডিটারমিন্যান্ট বের করি:
\[
D = a \times \left| \begin{array}{cc}
1 & c + a \\
1 & a + b \\
\end{array} \right| - 1 \times \left| \begin{array}{cc}
b & c + a \\
c & a + b \\
\end{array} \right| + (b + c) \times \left| \begin{array}{cc}
b & 1 \\
c & 1 \\
\end{array} \right|
\]
প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:
1. \(\left| \begin{array}{cc}
1 & c + a \\
1 & a + b \\
\end{array} \right| = 1 \times (a + b) - 1 \times (c + a) = (a + b) - (c + a) = a + b - c - a = b - c\)
2. \(\left| \begin{array}{cc}
b & c + a \\
c & a + b \\
\end{array} \right| = b \times (a + b) - c \times (c + a) = b(a + b) - c(c + a) = (ab + b^2) - (c^2 + ac)\)
3. \(\left| \begin{array}{cc}
b & 1 \\
c & 1 \\
\end{array} \right| = b \times 1 - c \times 1 = b - c\)
এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান বসিয়ে নেই:
\[
D = a \times (b - c) - 1 \times (ab + b^2 - c^2 - ac) + (b + c) \times (b - c)
\]
অন্যপক্ষে, দ্বিতীয় টার্মের চিহ্ন পরিবর্তন করে:
\[
D = a(b - c) - (ab + b^2 - c^2 - ac) + (b + c)(b - c)
\]
এখন, সব টার্মগুলো সরলীকরণ করি:
\[
D = a(b - c) - ab - b^2 + c^2 + ac + (b + c)(b - c)
\]
\(a(b - c) = ab - ac\)
\[
D = (ab - ac) - ab - b^2 + c^2 + ac + (b + c)(b - c)
\]
\(ab - ab = 0\), \( - ac + ac = 0 \):
\[
D = - b^2 + c^2 + (b + c)(b - c)
\]
অতঃপর, \((b + c)(b - c) = b^2 - c^2\):
\[
D = -b^2 + c^2 + b^2 - c^2 = 0
\]
অর্থাৎ, ডিটারমিন্যান্টের মান:
\[
\boxed{0}
\]