যদি  A=((costheta,-sintheta),(sintheta,costheta)) এবং  |A^2 |=1  হয়, তবে  theta এর মান কত?

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে,

A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

এবং জানানো হয়েছে, |A^2| = 1।

প্রথমে, A এর determinants নির্ণয় করি।

|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

অতঃপর, A এর গুণফল, A^2 = A \times A।

A^2 = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

গুণফল নির্ণয় করি:

\begin{bmatrix} \cos \theta \times \cos \theta + (-\sin \theta) \times \sin \theta & \cos \theta \times (-\sin \theta) + (-\sin \theta) \times \cos \theta \\ \sin \theta \times \cos \theta + \cos \theta \times \sin \theta & \sin \theta \times (-\sin \theta) + \cos \theta \times \cos \theta \end{bmatrix}

অর্থাৎ,

A^2 = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & -2 \sin \theta \cos \theta \\ 2 \sin \theta \cos \theta & -\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{bmatrix}

উপরোক্ত, diagonals হল: \(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta\) এবং \(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta\), যা \(\cos 2\theta\) এর সমান।

অন্যদিকে, ডান পাশে, determinant নির্ণয় করি:

|A^2| = \det(A^2) = \det(A) \times \det(A) = (\det A)^2

আমরা জানি, \(\det A = 1\), অতএব,

|A^2| = 1^2 = 1

অতএব,

\(\det(A^2) = (\text{diagonal elements})^2 - (\text{off-diagonal elements})^2\)

অথবা,

\(|A^2| = (\cos 2\theta)^2 - (2 \sin \theta \cos \theta)^2\)

নোট করুন, \(2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta\)। তাই,

|A^2| = (\cos 2 \theta)^2 - (\sin 2 \theta)^2 = \cos^2 2 \theta - \sin^2 2 \theta

এটা \(\cos 4 \theta\) এর সমান, কারণ: \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)।

অতএব,

|A^2| = \cos 4 \theta = 1

অর্থাৎ,

\(\cos 4 \theta = 1\)

এখানে, \(\cos 4 \theta = 1\) হয় যখন,

\(4 \theta = 0^\circ, 360^\circ, 720^\circ, \ldots\)

অর্থাৎ,

\(\theta = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, \ldots\)

কিন্তু, প্রশ্নে উল্লেখ আছে, \(\theta = 0^\circ, 45^\circ\)। কারণ, \(\cos 4 \theta = 1\) তখনই হবে যখন,

• \(\theta = 0^\circ\), কারণ \(4 \times 0^\circ = 0^\circ\), এবং \(\cos 0^\circ = 1\)
• \(\theta = 45^\circ\), কারণ \(4 \times 45^\circ = 180^\circ\), এবং \(\cos 180^\circ = -1\), যা প্রত্যাশিত নয়। তবে, যদি \(\cos 4 \theta = 1\), তাহলে, \(\theta = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, \ldots\)

তাই, মূলত, \(\theta = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, \ldots\)। তবে, প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, \(\theta = 0^\circ, 45^\circ\) সম্ভব।