কোন নির্ণায়কের একটি সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে C দ্বারা গুণ করে নির্ণায়কটির অপর একটি সারি থেকে বিয়োগ করা হলে নির্ণায়কটির মান হবে-

Another Explanation (5):

ধরি, একটি \( n \times n \) নির্ণায়ক \( \det(A) \)। একটি সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে \( C \) দ্বারা গুণ করলে, নির্ণায়কটির মান ???বে:

যদি আমরা ধরি, \( A \) ম্যাট্রিক্সের একটি সারি বা কলামে সব উপাদানগুলোকে \( C \) দ্বারা গুণ করি, তাহলে নির্ণায়কটির মান হবে:

$$ \det(A') = C \times \det(A) $$ এখন, প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একটি সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে \( C \) দ্বারা গুণ করে অন্য একটি সারি বা কলামের থেকে বিয়োগ করলে, নির্ণায়কটির মান পরিবর্তিত হবে।

যদি ধরি, সারি \( R_i \) থেকে \( R_j \) তে \( R_i \) এর উপাদানগুলোকে \( C \) দ্বারা গুণ করে, তাহলে নির্ণায়কটি হবে:

$$ \det(A'') = \det(A) + (C - 1) \times \text{প্রাসঙ্গিক নির্ণায়ক সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির উপর নির্ভর করে} $$ কিন্তু নির্ণায়কটির পরিবর্তন মূলত তখনই বেশি হয়, যখন সারি বা কলামগুলোকে গুণ করা হয়।

সাধারণত, একটি সারি বা কলামকে \( C \) দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়কটির মান \( C \) গুণ হয়। কিন্তু যখন একটি সারি বা কলামের উপাদানগুলো অন্য সারি বা কলামের উপাদান থেকে বিয়োগ করা হয়, তখন নির্ণায়কটির মান পরিবর্তিত হয়।

বিশেষ করে, যদি একটি সারি বা কলামকে অন্যটির সাথে যোগ বা বিয়োগ করে, তাহলে নির্ণায়কটির মান অপরিবর্তিত থাকে।

তবে, যদি উপাদানগুলোকে গুণ করে নির্ণায়কটিকে পরিবর্তিত করা হয়, তখন নির্ণায়কটির মান একাধিক গুণ বা ভাগ হতে পারে।

অতএব, নির্ণায়কটির মান হবে:

C গুণ বেশী