|[a,a,x],[b,b,b],[c,x,c]| = 0 হলে, x মান কত?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো:
\[
\begin{bmatrix}
a & a & x \\
b & b & b \\
c & x & c
\end{bmatrix}
\]
এবং এর ডিটারমিন্যান্টের মান 0, অর্থাৎ:
\[
\det \begin{bmatrix}
a & a & x \\
b & b & b \\
c & x & c
\end{bmatrix} = 0
\]
ধাপ ১: ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়
ডিটারমিন্যান্টের জন্য, আমরা প্রথম সারি দিয়ে কনডাকশন করি:
\[
\det = a \cdot \det \begin{bmatrix} b & b \\ x & c \end{bmatrix}
- a \cdot \det \begin{bmatrix} b & b \\ c & c \end{bmatrix}
+ x \cdot \det \begin{bmatrix} b & b \\ c & x \end{bmatrix}
\]
ধাপ ২: 2x2 ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়
\[
\det \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = p \cdot s - q \cdot r
\]
অতএব,
1. \(\det \begin{bmatrix} b & b \\ x & c \end{bmatrix} = b \cdot c - b \cdot x = b(c - x)\)
2. \(\det \begin{bmatrix} b & b \\ c & c \end{bmatrix} = b \cdot c - b \cdot c = 0\)
3. \(\det \begin{bmatrix} b & b \\ c & x \end{bmatrix} = b \cdot x - b \cdot c = b(x - c)\)
ধাপ ৩: ডিটারমিন্যান্টের সমীকরণ
অতএব,
\[
\det = a \cdot b(c - x) - a \cdot 0 + x \cdot b(x - c) = 0
\]
এখানে,
\[
a \cdot b(c - x) + x \cdot b(x - c) = 0
\]
বিন্যাস করি:
\[
a b (c - x) + x b (x - c) = 0
\]
\[
b [a (c - x) + x (x - c)] = 0
\]
যেহেতু, \(b \neq 0\) (অন্যথায়, ডিটারমিন্যান্টের নির্ণয় আলাদা হবে), তাই:
\[
a (c - x) + x (x - c) = 0
\]
অথবা,
\[
a c - a x + x^2 - c x = 0
\]
এখন,
\[
a c - a x - c x + x^2 = 0
\]
\[
x^2 - (a + c) x + a c = 0
\]
ধাপ ৪: সমাধান
এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ:
\[
x^2 - (a + c) x + a c = 0
\]
এর সমাধান হলো:
\[
x = \frac{(a + c) \pm \sqrt{(a + c)^2 - 4 a c}}{2}
\]
বিভিন্ন গুণফল দিয়ে,
\[
(a + c)^2 - 4 a c = a^2 + 2 a c + c^2 - 4 a c = a^2 - 2 a c + c^2 = (a - c)^2
\]
অতএব,
\[
x = \frac{(a + c) \pm |a - c|}{2}
\]
এখন, দুইটি সমাধান হতে পারে:
1. যখন যোগফল হয়:
\[
x = \frac{(a + c) + |a - c|}{2}
\]
2. যখন বিয়োগ হয়:
\[
x = \frac{(a + c) - |a - c|}{2}
\]
এখন, দুটি আলাদা পরিস্থিতি বিবেচনা করি:
**অপশন ১: \(a \geq c\)**
\[
|a - c| = a - c
\]
তাহলে,
\[
x = \frac{a + c + (a - c)}{2} = \frac{2a}{2} = a
\]
অন্যটি:
\[
x = \frac{a + c - (a - c)}{2} = \frac{a + c - a + c}{2} = \frac{2c}{2} = c
\]
**অপশন ২: \(a < c\)**
\[
|a - c| = c - a
\]
তাহলে,
\[
x = \frac{a + c + c - a}{2} = \frac{2c}{2} = c
\]
অন্যটি:
\[
x = \frac{a + c - (c - a)}{2} = \frac{a + c - c + a}{2} = \frac{2a}{2} = a
\]
**সারাংশ:**
\[
x = a \quad \text{বা} \quad x = c
\]
**উত্তর:**
\[
\boxed{
x = a \quad \text{বা} \quad x = c
}
\]
উল্লেখ্য, প্রশ্নে "উত্তর: 'a, c'" দেওয়া হয়েছে, যা আমাদের ফলাফলের সঙ্গতিপূর্ণ।