|(x+y,x,y),(x,x+z,z),(y,z,y+z)|=? 

প্রশ্ন: |(x+y,x,y),(x,x+z,z),(y,z,y+z)|=?

উত্তর: 4xyz

ব্যাখ্যা:

ধরি, নির্ণায়কটি হলো:

\( \Delta = \begin{vmatrix} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \)

আমরা সারি এবং কলাম অপারেশন ব্যবহার করে নির্ণায়কের মান বের করব।

প্রথমে, প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি বিয়োগ করি (R1 -> R1 - R2):

\( \Delta = \begin{vmatrix} y & -z & y-z \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{vmatrix} \)

এরপর, তৃতীয় সারি থেকে প্রথম সারি বিয়োগ করি (R3 -> R3 - R1):

\( \Delta = \begin{vmatrix} y & -z & y-z \\ x & x+z & z \\ 0 & z+z & z+z \end{vmatrix} \)

\( \Delta = \begin{vmatrix} y & -z & y-z \\ x & x+z & z \\ 0 & z+z & 2z \end{vmatrix} \)

\( \Delta = \begin{vmatrix} y & -z & y-z \\ x & x+z & z \\ 0 & 2z & z+z \end{vmatrix} \)

এখন নির্ণায়কটিকে বিস্তার করি প্রথম কলাম বরাবর:

\( \Delta = y\begin{vmatrix} x+z & z \\ z & y+z \end{vmatrix} - x\begin{vmatrix} -z & y-z \\ z & y+z \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} -z & y-z \\ x+z & z \end{vmatrix} \)

\( \Delta = y[(x+z)(y+z) - z^2] - x[-z(y+z) - z(y-z)] \)

\( \Delta = y[xy + xz + yz + z^2 - z^2] - x[-zy - z^2 - zy + z^2] \)

\( \Delta = y[xy + xz + yz] - x[-2zy] \)

\( \Delta = xy^2 + xyz + y^2z + 2xyz \)

\( \Delta = xy^2 + 3xyz + y^2z \)

অন্যভাবে করা যাক। কলাম অপারেশন করি।

C1 -> C1 - C2 - C3

\( \Delta = \begin{vmatrix} x+y-x-y & x & y \\ x-x-z-z & x+z & z \\ y-z-y-z & z & y+z \end{vmatrix} \)

\( \Delta = \begin{vmatrix} 0 & x & y \\ -2z & x+z & z \\ -2z & z & y+z \end{vmatrix} \)

C2 -> C2 - C3

\( \Delta = \begin{vmatrix} 0 & x-y & y \\ -2z & x & z \\ -2z & -y & y+z \end{vmatrix} \)

এখন প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করি।

\( \Delta = 0 - (x-y) \begin{vmatrix} -2z & z \\ -2z & y+z \end{vmatrix} + y \begin{vmatrix} -2z & x \\ -2z & -y \end{vmatrix} \)

\( \Delta = -(x-y) [-2z(y+z) + 2z^2] + y[2zy + 2zx] \)

\( \Delta = -(x-y) [-2zy - 2z^2 + 2z^2] + 2zy^2 + 2xyz \)

\( \Delta = -(x-y) [-2zy] + 2zy^2 + 2xyz \)

\( \Delta = 2xyz - 2y^2z + 2zy^2 + 2xyz \)

\( \Delta = 4xyz \)

অতএব, নির্ণায়কের মান 4xyz। 🎉