কোন নির্ণায়কের দুটি সারি বা কলাম একে অপরের গুণিতক হলে, ঐ নির্ণায়কের মান হবে-

নির্ণায়কের মান

প্রশ্ন: কোন নির্ণায়কের দুটি সারি বা কলাম একে অপরের গুণিতক হলে, ঐ নির্ণায়কের মান হবে-

উত্তর: 0

ব্যাখ্যা:

ধরা যাক, একটি \(n \times n\) নির্ণায়ক \(A\)-এর \(i\)-তম সারি \(R_i\) এবং \(j\)-তম সারি \(R_j\), যেখানে \(R_j = kR_i\) (\(k\) একটি স্কেলার)।

\(A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\)

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, কোনো সারিতে \(k\) গুণ থাকলে, \(k\) কে নির্ণায়কের বাইরে লেখা যায়।

সুতরাং, \(|A| = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\)

এখন, নির্ণায়কের দুটি সারি \(R_i\) এবং \(R_j\) অভিন্ন। আমরা জানি, কোনো নির্ণায়কের দুটি সারি বা কলাম অভিন্ন হলে, ঐ নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। 😮

সুতরাং, \(|A| = k \cdot 0 = 0\) 🥳

একই যুক্তি কলামের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। 🤓