[[a,1,b+c],[b,1,c+a],[c,1,a+b]]=?

প্রশ্ন: \( \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix} = ? \)

সমাধান:

আমরা নির্ণায়কটির তৃতীয় কলামটিকে দুইটি কলামের যোগফল আকারে লিখতে পারি:

\( \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 1 & c \\ b & 1 & a \\ c & 1 & b \end{vmatrix} \)

এখন, প্রথম নির্ণায়কটির তৃতীয় কলামের সাথে প্রথম কলাম যোগ করে পাই:

\( \begin{vmatrix} a & 1 & a+b \\ b & 1 & b+c \\ c & 1 & c+a \end{vmatrix} \)

সুতরাং,

\( \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 1 & a+b \\ b & 1 & b+c \\ c & 1 & c+a \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a & 1 & c \\ b & 1 & a \\ c & 1 & b \end{vmatrix} \)

প্রথম নির্ণায়কটিকে আবার দুইটি কলামের যোগফল আকারে লিখি:

\( \begin{vmatrix} a & 1 & a+b \\ b & 1 & b+c \\ c & 1 & c+a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 1 & a \\ b & 1 & b \\ c & 1 & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} \)

যেহেতু প্রথম নির্ণায়কটির প্রথম ও তৃতীয় কলাম একই, তাই এর মান শূন্য। সুতরাং,

\( \begin{vmatrix} a & 1 & a \\ b & 1 & b \\ c & 1 & c \end{vmatrix} = 0 \)

অতএব,

\( \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix} = 0+ \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a & 1 & c \\ b & 1 & a \\ c & 1 & b \end{vmatrix} \)

এখন দ্বিতীয় নির্ণায়ক থেকে একটি মাইনাস কমন নিলে পাই, \( \begin{vmatrix} a & 1 & c \\ b & 1 & a \\ c & 1 & b \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} \)

সুতরাং, \( \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} - (- \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix}) \)

\( \begin{vmatrix} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} a & 1 & b \\ b & 1 & c \\ c & 1 & a \end{vmatrix}\)

এখন ১ম সারি থেকে ২য় সারি বিয়োগ করে এবং ২য় সারি থেকে ৩য় সারি বিয়োগ করে পাই,

\( \begin{vmatrix} a-b & 0 & b-c \\ b-c & 0 & c-a \\ c & 1 & a \end{vmatrix} \)

২য় কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই,

\( -1 \begin{vmatrix} a-b & b-c \\ b-c & c-a \end{vmatrix} = -( (a-b)(c-a) - (b-c)^2 ) \)

\(= -(ac - a^2 - bc + ab - b^2 + 2bc - c^2 ) = a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc - ca \)

বিকল্প নিয়ম:

\(C_3 \rightarrow C_3 + C_1\) করে পাই, \( \begin{vmatrix} a & 1 & a+b+c \\ b & 1 & a+b+c \\ c & 1 & a+b+c \end{vmatrix} \) \( = (a+b+c) \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ b & 1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0\) ( যেহেতু দুটি কলাম একই)

সুতরাং, নির্ণায়কের মান 0️⃣।

উত্তর: 0