এর মডুলাস = ? 

দেওয়া আছে, \( \left(\frac{1+2\sqrt{2}i}{-1+2\sqrt{2}i}\right)^3 \) এর মডুলাস নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, যদি \( z = \frac{z_1}{z_2} \) হয়, তবে \( |z| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) এবং \( |z^n| = |z|^n \)।

ধরি, \( z = \left(\frac{1+2\sqrt{2}i}{-1+2\sqrt{2}i}\right) \)।

তাহলে, \( |z| = \frac{|1+2\sqrt{2}i|}{|-1+2\sqrt{2}i|} \)।

আমরা জানি, \( |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \)।

সুতরাং, \( |1+2\sqrt{2}i| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 \)।

এবং, \( |-1+2\sqrt{2}i| = \sqrt{(-1)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 \)।

অতএব, \( |z| = \frac{3}{3} = 1 \)।

সুতরাং, \( \left|\left(\frac{1+2\sqrt{2}i}{-1+2\sqrt{2}i}\right)^3\right| = |z^3| = |z|^3 = 1^3 = 1 \)।

অতএব, \( \left(\frac{1+2\sqrt{2}i}{-1+2\sqrt{2}i}\right)^3 \) এর মডুলাস 1। 🎉