8+4i√5 এর বর্গমুল হবে-

 

প্রশ্ন: 8+4i√5 এর বর্গমূল হবে-

সমাধান:

ধরি, \( \sqrt{8 + 4i\sqrt{5}} = a + ib \) যেখানে a এবং b বাস্তব সংখ্যা।

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\( 8 + 4i\sqrt{5} = (a + ib)^2 \) \( 8 + 4i\sqrt{5} = a^2 + 2abi - b^2 \) \( 8 + 4i\sqrt{5} = (a^2 - b^2) + i(2ab) \)

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে ???াই,

\( a^2 - b^2 = 8 \) .........(1)

\( 2ab = 4\sqrt{5} \) .........(2)

\( ab = 2\sqrt{5} \) .........(3)

আমরা জানি, \( (a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2 \)

\( (a^2 + b^2)^2 = (8)^2 + 4(2\sqrt{5})^2 \)

\( (a^2 + b^2)^2 = 64 + 4(4 \times 5) \)

\( (a^2 + b^2)^2 = 64 + 80 \)

\( (a^2 + b^2)^2 = 144 \)

\( a^2 + b^2 = \sqrt{144} \)

\( a^2 + b^2 = 12 \) .........(4)

এখন, (1) এবং (4) যোগ করে পাই,

\( 2a^2 = 20 \)

\( a^2 = 10 \)

\( a = \pm\sqrt{10} \)

(4) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

\( 2b^2 = 4 \)

\( b^2 = 2 \)

\( b = \pm\sqrt{2} \)

যেহেতু, \( ab = 2\sqrt{5} \) (>0), সুতরাং a এবং b এর চিহ্ন একই হবে।

অতএব, \( \sqrt{8 + 4i\sqrt{5}} = \pm (\sqrt{10} + i\sqrt{2}) \)

উত্তর: \( \pm (\sqrt{10} + i\sqrt{2}) \) 🎉