z=3−4i এবং √z=x+iy হলে নিচের কোনটি সঠিক ?

প্রথমে, আমাদের দেওয়া রয়েছে:

z = 3 - 4i

এবং,

√z = x + iy

আমরা জানি, যদি √z = x + iy, তবে:

(x + iy)² = z

অর্থাৎ,

(x + iy)² = 3 - 4i

বর্গের সম্প্রসারণ করি:

x² + 2ixy - y² = 3 - 4i

এখন, বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমান করি:

• বাস্তব অংশ: x² - y² = 3
• কাল্পনিক অংশ: 2xy = -4

অতএব, প্রথম সমীকরণ থেকে:

x² - y² = 3

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:

2xy = -4 ⇒ xy = -2

এখন, আমরা দেখতে পারি যে:

(x² + y²) = (x² - y²) + 2y²

তবে, আমরা x² - y² = 3 থেকে জানি। এখন, এটি ব্যবহার করে:

x² + y² = (x² - y²) + 2y² = 3 + 2y²

অথবা, অন্য পথে, আমরা প্রথম দুটি সমীকরণ দিয়ে:

(x² - y²) = 3

এবং, xy = -2

একটি পদ্ধতিতে, x ও y এর মান নির্ণয় করার জন্য, ধরুন y এর মান:

y = -2 / x

এখন, x² - y² = 3 এ রাখি:

x² - \left( \frac{-2}{x} \right)² = 3

x² - \frac{4}{x²} = 3

উভয় পক্ষকে x² দ্বারা গুণ করি:

x⁴ - 4 = 3x²

অর্থাৎ,

x⁴ - 3x² - 4 = 0

ধরি, t = x², তাহলে:

t² - 3t - 4 = 0

এটি একটি রৈখিক রূপের সমীকরণ:

t² - 3t - 4 = 0

সমাধান করি:

t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}

t = \frac{3 \pm 5}{2}

অর্থাৎ,

t₁ = \frac{3 + 5}{2} = 4

তাহলে, x² = 4 ⇒ x = \pm 2

y এর জন্য, xy = -2, তাই যদি x = 2 তাহলে y = -1, এবং যদি x = -2 তাহলে y = 1।

এখন, x² + y² এর মান নির্ণয় করি:

যেহেতু, x² = 4 এবং y² = 1, তাহলে:

x² + y² = 4 + 1 = 5

অতএব,

প্রমাণ হলো যে:

\(x^2 + y^2 = 5\)