গণিত সমস্যা: ভুল ঠিকানায় চিঠি✉️

প্রশ্ন: ৪টি চিঠি ✉️ ও ৪টি নির্দিষ্ট ঠিকানাবিশিষ্ট খাম 💌 আছে। কত উপায়ে ৪টি চিঠির প্রত্যেকটিই ভুল ঠিকানাবিশিষ্ট খামে রাখা যায়? 🤔

সমাধান:

ধরি, চিঠি চারটি হলো \(L_1, L_2, L_3, L_4\) এবং খাম চারটি হলো \(E_1, E_2, E_3, E_4\), যেখানে \(L_i\) এর সঠিক খাম হলো \(E_i\)। আমাদের নির্ণয় করতে হবে কত উপায়ে চিঠিগুলো ভুল খামে রাখা যায়। 🤔

এটাকে derangement-এর সমস্যা বলা হয়। \(n\) সংখ্যক বস্তুকে এমনভাবে সাজানো যেন তাদের মধ্যে কোনোটিই সঠিক স্থানে না বসে, তাকে derangement বলে। 🤓

Derangement এর সূত্রানুসারে, \(n\) সংখ্যক বস্তুর derangement সংখ্যা হলো:

\(D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right)\)

এখানে, \(n = 4\)। সুতরাং,

\(D_4 = 4! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)\)

\(= 24 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)\)

\(= 24 \left(\frac{12 - 4 + 1}{24} \right)\)

\(= 24 \left(\frac{9}{24} \right)\)

\(= 9\)

কিন্তু আমরা অন্যভাবেও করতে পারি:

মোট সম্ভাব্য উপায় = \(4! = 24\)

• একটি চিঠিও ভুল না হলে = 1 ভাবে
• একটি চিঠি ঠিক থাকলে = 0 ভাবে (কারণ একটি ঠিক থাকলে অন্যগুলোও ঠিক থাকতে হবে)
• দুটি চিঠি ঠিক থাকলে = \(\binom{4}{2} = 6\) ভাবে। বাকি দুটি ভুলভাবে রাখতে হবে, যা 1 ভাবে সম্ভব। সুতরাং \(6 \times 1 = 6\) ভাবে
• তিনটি চিঠি ঠিক থাকলে = 0 ভাবে (কারণ তিনটি ঠিক থাকলে চতুর্থটিও ঠিক থাকবে)
• চারটি চিঠি ঠিক থাকলে = 1 ভাবে

সুতরাং, কোনো চিঠিই তার সঠিক খামে না থাকলে = \(24 - 1 - 6 - 0 - 0 = 9\)

যদি দুটি চিঠি সঠিক খামে থাকে: \(\binom{4}{2}\) = 6। বাকি দুটি চিঠি ভুল খামে রাখার উপায় ১টি। সুতরাং ৬টি উপায়।

যদি একটিও চিঠি সঠিক খামে না থাকে (D4): D4 = 4! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!] = 24 [1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24] = 12

অতএব, ৪টি চিঠির প্রত্যেকটিই ভুল ঠিকানাবিশিষ্ট খামে রাখার উপায় সংখ্যা = ১২। 🎉