m এর মান কত হলে mx-y=0 রেখাটি x2+y2=px+qy বৃত্তকে স্পর্শ করে ?
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় 🧐
দেওয়া আছে, সরলরেখাটি হলো: \(mx - y = 0 \Rightarrow y = mx\)
এবং বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 = px + qy\)
বৃত্তের সমীকরণটিকে লেখা যায়: \(x^2 + y^2 - px - qy = 0\)
এই বৃত্তের কেন্দ্র \((\frac{p}{2}, \frac{q}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{(\frac{p}{2})^2 + (\frac{q}{2})^2 - 0} = \frac{1}{2}\sqrt{p^2 + q^2}\) 🤓
যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
কেন্দ্র \((\frac{p}{2}, \frac{q}{2})\) থেকে \(mx - y = 0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব:
\[d = \frac{|m(\frac{p}{2}) - \frac{q}{2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{mp - q}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|mp - q|}{2\sqrt{m^2 + 1}}\]
শর্তানুসারে, \(d = r\)
\[\frac{|mp - q|}{2\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{2}\sqrt{p^2 + q^2}\]
\[|mp - q| = \sqrt{(m^2 + 1)(p^2 + q^2)}\]
উভয় দিকে বর্গ করে পাই:
\[(mp - q)^2 = (m^2 + 1)(p^2 + q^2)\]
\[m^2p^2 - 2mpq + q^2 = m^2p^2 + m^2q^2 + p^2 + q^2\]
\[-2mpq = m^2q^2 + p^2\]
\[m^2q^2 + 2mpq + p^2 = 0\]
\[(mq + p)^2 = 0\]
\[mq + p = 0\]
\[mq = -p\]
\[m = -\frac{p}{q}\]
অতএব, নির্ণেয় মান: \(m = -\frac{p}{q}\) 🎉
```