\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\) এবং \((x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9\) বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \) এবং \(\ (x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9 \) বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \(C_1 (2, 3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1 = 4\)। দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2 (2, 10)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_2 = 3\)। প্রথমে, দুই কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব: \[ d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - 10)^2} = \sqrt{0 + 49} = 7 \] যেহেতু দুই বৃত্ত স্পর্শ করছে, তারা এক বিন্দুতে স্পর্শ করবে। স্পর্শ বিন্দুর জন্য, সেই বিন্দুটি উভয় বৃত্তের মধ্যবর্তী অবস্থানে থাকবে। এখন, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এর জন্য, এই বিন্দু দুটি বৃত্তের সমীকরণের সমাধান হবে। যেহেতু উভয় বৃত্তের কেন্দ্র একই x-অক্ষের লাইন উপর, \(x\) এর মান নির্ণয় করা যেতে পারে। উভয় বৃত্তের সমীকরণ থেকে, আমরা পার্থক্য করি: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \quad ...(1) \] \[ (x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9 \quad ...(2) \] তাহলে, (1) থেকে (2) বিয়োগ করলে: \[ [(x - 2)^2 + (y - 3)^2] - [(x - 2)^2 + (y - 10)^2] = 16 - 9 \] \[ (y - 3)^2 - (y - 10)^2 = 7 \] বিভাজন ও সমাধান: \[ [(y - 3) - (y - 10)] \times [(y - 3) + (y - 10)] = 7 \] প্রথমটি: \[ (y - 3) - (y - 10) = y - 3 - y + 10 = 7 \] দ্বিতীয়টি: \[ (y - 3) + (y - 10) = y - 3 + y - 10 = 2y - 13 \] অতএব: \[ 7 \times (2y - 13) = 7 \] \[ 2y - 13 = 1 \] \[ 2y = 14 \] \[ y = 7 \] এখন, \(y = 7\) হলে, প্রথম বৃত্তের সমীকরণ থেকে \(x\) নির্ণয় করি: \[ (x - 2)^2 + (7 - 3)^2 = 16 \] \[ (x - 2)^2 + 16 = 16 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \] \[ x = 2 \] অতএব, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো: \[ \boxed{(2, 7)} \] উত্তর: \(\boxed{(2, 7)}\)