(x-2)²+(y-3)³=16 এবং (x-2)²+(y-10)²=9 বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

দেওয়া দুইটি বৃত্তের সমীকরণ হলো:

(1)  \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \)
(2)  \( (x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9 \)

এগুলো হলো: - প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1 = (2, 3) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1 = 4 \)। - দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( C_2 = (2, 10) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_2 = 3 \)। আমরা জানি, দুটি বৃত্তের স্পর্শবিন্দু সাধারণত দুটি ধরণের হতে পারে: - বাহ্যিক স্পর্শবিন্দু - অভ্যন্তরীণ স্পর্শবিন্দু এখানে, কেন্দ্রের দূরত্ব \( d \) হিসাব করি: \[ d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - 10)^2} = \sqrt{0 + 49} = 7 \] চেক করি: - বাহ্যিক স্পর্শবিন্দুর জন্য: \[ d = r_1 + r_2 = 4 + 3 = 7 \] - অভ্যন্তরীণ স্পর্শবিন্দুর জন্য: \[ |r_1 - r_2| = |4 - 3| = 1 \] এখানে, কেন্দ্রের দূরত্ব সমান \( 7 \), যা \( r_1 + r_2 \) এর সমান। সুতরাং, এই দুটি বৃত্ত বাহ্যিকভাবে স্পর্শ করছে। **অর্থাৎ, স্পর্শবিন্দু দুই কেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখায় অবস্থিত।** এখানে, কেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখার অক্ষাংশে স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি: প্রথম কেন্দ্র \( C_1 = (2, 3) \) দ্বিতীয় কেন্দ্র \( C_2 = (2, 10) \) দুটি কেন্দ্রের মধ্যে সরলরেখার সমীকরণ হলো: \[ x = 2 \] এবং স্পর্শবিন্দু কেন্দ্রের মধ্যে রেখার উপর থাকবে, যেখানে: \[ \text{দূরত্ব} \(d\) হলো \(7\), এবং ব্যাসার্ধের যোগফল \(7\), অর্থাৎ, স্পর্শবিন্দু কেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখায় অবস্থিত। অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) হবে যেখানে: \[ x = 2 \] এবং, কেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখায়: \[ \text{দূরত্ব} \(d\) থেকে } \( (2, y) \) এর জন্য: \[ \sqrt{(2 - 2)^2 + (y - 3)^2} = 4 \] অথবা, \[ | y - 3 | = 4 \] অর্থাৎ, \[ y - 3 = 4 \quad \text{বা} \quad y - 3 = -4 \] সমাধান করলে, \[ y = 7 \quad \text{বা} \quad y = -1 \] তবে, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( (2, 10) \) থেকে এই পয়েন্টের দূরত্ব যাচাই করি: \[ \sqrt{(2 - 2)^2 + (10 - y)^2} = 3 \] এখানে, \( y = 7 \): \[ \sqrt{0 + (10 - 7)^2} = 3 \] \[ \sqrt{0 + 3^2} = 3 \] সঠিক। অন্য দিকে, \( y = -1 \): \[ \sqrt{0 + (10 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 11^2} = 11 \neq 3 \] অর্থাৎ, এই বিকল্পটি মানানসই নয়। অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো: \[ \boxed{(2, 7)} \] **উত্তর: \(\boxed{(2, 7)}\)**