x²​ + y²​ = 9 এবং x²​ + y²​ + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে c এর মান—​​​​​​​​​​​​

সম্পূর্ণ সমাধান:

1. প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করিঃ উপরের সমীকরণটি সম্পূর্ণ করে লিখলে, \( x^2 + y^2 = 9 \) এটি কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1 = 3 \)।
2. দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণকে সম্পূর্ণ করে লিখিঃ \[ x^2 + 6x + y^2 + 8y + c = 0 \] এখানে, সম্পূর্ণ করার জন্য, \[ x^2 + 6x + y^2 + 8y = -c \] প্রতিটি অংশের জন্য সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি: \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] \[ y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16 \] অতএব, সমীকরণটি হয়: \[ (x + 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -c \] অর্থাৎ, \[ (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 + 16 - c \] \[ (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 - c \] এখানে, কেন্দ্র \(( -3, -4 )\) এবং ব্যাসার্ধ \( r_2 = \sqrt{25 - c} \)।
3. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, এজন্য তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ও ব্যাসার্ধের সম্বন্ধ ব্যবহার করিঃ দুটি কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব: \[ d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] প্রতিটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো: \[ r_1 = 3,\quad r_2 = \sqrt{25 - c} \] বৃত্ত দুটি যদি বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান হবে তাদের ব্যাসার্ধের যোগফলের সাথে: \[ d = r_1 + r_2 \] অর্থাৎ: \[ 5 = 3 + \sqrt{25 - c} \] এখানে, \[ \sqrt{25 - c} = 5 - 3 = 2 \] দুটি সমানতার উপর ভিত্তি করে, \[ \sqrt{25 - c} = 2 \] স্কোয়ার করি: \[ 25 - c = 4 \] অতএব, \[ c = 25 - 4 = 21 \] **উত্তর: \(\boxed{21}\)**