x^2+y^2=9  এবং  x^2+y^2+2ax+2y+1=0   বৃত্ত দুটি পরস্পর স্পর্শ করলে a এর মান কত ?  

Explanation:

Another Explanation (5): বৃত্ত দুটির সমীকরণ: \[x^2 + y^2 = 9 \qquad (1)\] \[x^2 + y^2 + 2ax + 2y + 1 = 0 \qquad (2)\] (1) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(C_1(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1 = 3\). (2) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2(-a, -1)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_2 = \sqrt{a^2 + 1 - 1} = \sqrt{a^2} = |a|\). বৃত্ত দুটি পরস্পর স্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d = |r_1 \pm r_2|\) হবে। কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, \(d = \sqrt{(-a - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{a^2 + 1}\). সুতরাং, \(\sqrt{a^2 + 1} = |3 \pm |a|| \). এখন, দুটি কেস আলোচনা করা যাক: ক Case 1: \(\sqrt{a^2 + 1} = 3 + |a|\) উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \(a^2 + 1 = 9 + 6|a| + a^2\) \(6|a| = -8\) \(|a| = -\frac{4}{3}\) যেহেতু \(|a|\) ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই কেসটি গ্রহণযোগ্য নয়। ❌ খ Case 2: \(\sqrt{a^2 + 1} = |3 - |a|| \) উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \(a^2 + 1 = 9 - 6|a| + a^2\) \(6|a| = 8\) \(|a| = \frac{4}{3}\) সুতরাং, \(a = \pm \frac{4}{3}\). যদি \(a = \frac{4}{3}\) হয়, তবে \(r_2 = |a| = \frac{4}{3}\). সেক্ষেত্রে, \(\sqrt{a^2+1} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}\). আবার, \(|3-|a|| = |3-\frac{4}{3}| = |\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}\). ইহা সঠিক ✅ যদি \(a = -\frac{4}{3}\) হয়, তবে \(r_2 = |a| = \frac{4}{3}\). সেক্ষেত্রে, \(\sqrt{a^2+1} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}\). আবার, \(|3-|a|| = |3-\frac{4}{3}| = |\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}\). ইহা ও সঠিক ✅ কিন্তু অপশনে শুধু \(-\frac{4}{3}\) আছে। 🤔 সুতরাং, \(a = -\frac{4}{3}\) ✅