\( (x-2)^2+(y-3)^2 = 16 \) এবং \( (x-2)^2 + (y-10)^2=9 \) বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক-
সঠিক উত্তরঃ
D.
\( (2,7) \)
Another Explanation (5):
সমাধান:
দেওয়া রেখাগুলোর সমীকরণ হলো:
\[
\text{বৃত্ত ১:} \quad (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16
\]
\[
\text{বৃত্ত ২:} \quad (x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9
\]
প্রথমে, দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র ও রেডিয়াসের মান নির্ণয় করি:
\[
\text{বৃত্ত ১ এর কেন্দ্র: } C_1 = (2, 3) \quad \text{রেডিয়াস: } r_1 = 4
\]
\[
\text{বৃত্ত ২ এর কেন্দ্র: } C_2 = (2, 10) \quad \text{রেডিয়াস: } r_2 = 3
\]
চিহ্নিত করব, দ্বৈত রেখার সমীকরণ:
\[
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16
\]
\[
(x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9
\]
দুটি সমীকরণ থেকে, প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বিয়োগ করি:
\[
[(x - 2)^2 + (y - 3)^2] - [(x - 2)^2 + (y - 10)^2] = 16 - 9
\]
\[
(y - 3)^2 - (y - 10)^2 = 7
\]
এখন, ব্যবহার করি:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
অর্থাৎ:
\[
[(y - 3) - (y - 10)] \times [(y - 3) + (y - 10)] = 7
\]
সরলীকরণ করি:
\[
[(y - 3) - (y - 10)] = (y - 3) - y + 10 = 7
\]
\[
[(y - 3) + (y - 10)] = y - 3 + y - 10 = 2y - 13
\]
অতএব:
\[
7 \times (2y - 13) = 7
\]
\[
2y - 13 = 1
\]
\[
2y = 14
\]
\[
y = 7
\]
এখন, y এর মান ৭ থাকলে, x এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি। এর জন্য, প্রথম বৃত্তের সমীকরণে y এর মান প্রতিস্থাপন করি:
\[
(x - 2)^2 + (7 - 3)^2 = 16
\]
\[
(x - 2)^2 + 4^2 = 16
\]
\[
(x - 2)^2 + 16 = 16
\]
\[
(x - 2)^2 = 0
\]
\[
x - 2 = 0
\]
\[
x = 2
\]
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো:
\[
\boxed{(2, 7)}
\]
**উত্তর: \(\boxed{(2, 7)}\)**
