x²+y²+2x+c=0 এবং x²+y²+2y+c=0 বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে স্পর্শ করলে এর মান হবে-

Explanation:

Another Explanation (5): বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 + 2x + c = 0 \] \[ x^2 + y^2 + 2y + c = 0 \] প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \(C_1\) ও ব্যাসার্ধ \(r_1\) হল: কেন্দ্র \(C_1 = (-1, 0)\) ব্যাসার্ধ \(r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 - c} = \sqrt{1-c}\) দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2\) ও ব্যাসার্ধ \(r_2\) হল: কেন্দ্র \(C_2 = (0, -1)\) ব্যাসার্ধ \(r_2 = \sqrt{0^2 + (-1)^2 - c} = \sqrt{1-c}\) যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের সমান হবে। কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব: \(d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\) ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল: \(r_1 + r_2 = \sqrt{1-c} + \sqrt{1-c} = 2\sqrt{1-c}\) সুতরাং, \(d = r_1 + r_2\) \[ \sqrt{2} = 2\sqrt{1-c} \] \[ (\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{1-c})^2 \] \[ 2 = 4(1-c) \] \[ 2 = 4 - 4c \] \[ 4c = 4 - 2 \] \[ 4c = 2 \] \[ c = \frac{2}{4} \] \[ c = \frac{1}{2} \] অতএব, \(c\) এর মান \(\frac{1}{2}\)। 🎉