Another Explanation (5): সমাধান:
প্রথমে দেওয়া রেখা এবং বৃত্তের সমীকরণগুলো হলো:
রেখা: \( 3x + 4y = k \)
বৃত্ত: \( x^2 + y^2 = 10x \)
ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও রেডিয়াস নির্ণয়:
বৃত্তের সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখি:
\[
x^2 - 10x + y^2 = 0
\]
সম্পূর্ণ বর্গের রূপে লিখলে:
\[
x^2 - 10x + 25 + y^2 = 25
\]
অর্থাৎ,
\[
(x - 5)^2 + y^2 = 25
\]
এখানে,
\[
\text{কেন্দ্র} \quad C = (5, 0)
\]
\[
\\text{রেডিয়াস} \quad r = 5
\]
ধাপ ২: রেখার সমীকরণ থেকে একটি পদ্ধতিতে রেডিয়াস নির্ণয়:
রেখার সমীকরণ: \( 3x + 4y = k \)
এটি সাধারণ রেখার সমীকরণ \( Ax + By + C = 0 \)-এ রূপান্তর করলে:
\[
3x + 4y - k = 0
\]
যেখানে,
\[
A = 3, \quad B = 4, \quad C = -k
\]
ধাপ ৩: রেখা ও বৃত্তের স্পর্শের শর্ত:
একটি রেখা এবং বৃত্ত স্পর্শ করলে, রেখা বৃত্তের ঊর্ধ্বে বা নীচে থাকা সত্ত্বেও, তাদের মধ্যে দূরত্ব সমান রেডিয়াসের সমান হবে। অর্থাৎ, রেখার থেকে বৃত্তের কেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব হবে রেডিয়াসের সমান।
দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
এখানে, কেন্দ্র \( (x_0, y_0) = (5, 0) \), এবং \( A = 3, B = 4, C = -k \)।
অতএব,
\[
d = \frac{|3 \times 5 + 4 \times 0 - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|15 - k|}{5}
\]
রেখা বৃত্তের সাথে স্পর্শ করলে,
\[
d = r = 5
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{|15 - k|}{5} = 5
\]
এখানে,
\[
|15 - k| = 25
\]
দুটি সমাধান আসবে:
1. \( 15 - k = 25 \Rightarrow k = 15 - 25 = -10 \)
2. \( 15 - k = -25 \Rightarrow k = 15 + 25 = 40 \)
উত্তর:
\[
\boxed{
k = 40 \quad \text{বা} \quad k = -10
}
\]
**অতএব,** রেখা \( 3x + 4y = k \) বৃত্তের সাথে স্পর্শ করে যখন \( k = 40 \) বা \( k = -10 \)।
