x²​ + y²​ = 9 এবং x²​ + y²​ + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থ​​​​​​​​​​​​ভাবে স্পর্শ করলে c এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে দেওয়া দুটি সমীকরণ হলো: 1) \(x^2 + y^2 = 9\) —— এটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র \((0,0)\) এবং রেডিয়াস \(r_1 = 3\)। 2) \(x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0\) —— এটি অন্য একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র ও রে??িয়াস নির্ণয় করতে হবে। ### ধাপ 1: দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র ও রেডিয়াস নির্ণয় সম্পূর্ণ বর্গ করে লেখি: \[ x^2 + 6x + y^2 + 8y + c = 0 \] \[ (x^2 + 6x) + (y^2 + 8y) = -c \] সম্পূর্ণ বর্গ: \[ x^2 + 6x + 9 - 9 + y^2 + 8y + 16 - 16 = -c \] \[ (x + 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -c \] \[ (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 + 16 - c \] অতএব, এই বৃত্তের কেন্দ্র হলো \((-3, -4)\) এবং রেডিয়াস: \[ r_2 = \sqrt{25 - c} \] ### ধাপ 2: দুইটি বৃত্তের পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করার জন্য শর্ত যদি দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব হবে সমান রেডিয়াসের যোগফলের সাথে: \[ \text{Distance בין কেন্দ্র} = r_1 + r_2 \] কেন্দ্রের দূরত্ব: \[ d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] অতএব, \[ r_1 + r_2 = d \] \[ 3 + \sqrt{25 - c} = 5 \] এখন, সমীকরণ থেকে \(c\) নির্ণয় করি: \[ \sqrt{25 - c} = 5 - 3 = 2 \] দুটি পক্ষের স্কোয়ার করি: \[ 25 - c = 4 \] \[ c = 25 - 4 = 21 \] ### উত্তর: \[ \boxed{c = 21} \]