OA এবং OB মূলবিন্দু হতে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তে স্পর্শক এবং C কেন্দ্র হলে OABC চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল হবে-

প্রশ্ন: OA এবং OB মূলবিন্দু হতে \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) বৃত্তে স্পর্শক এবং C কেন্দ্র হলে OABC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল হবে-

উত্তর: \(\sqrt{c(g^2+f^2-c)}\)

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র C(-g, -f) এবং ব্যাসার্ধ r = \(\sqrt{g^2 + f^2 - c}\).

যেহেতু OA এবং OB বৃত্তের স্পর্শক, তাই \(∠OAC = ∠OBC = 90°\). সুতরাং, OABC একটি চতুর্ভুজ যার \(∠OAC\) ও \(∠OBC\) সমকোণ।

OC = \(\sqrt{(-g - 0)^2 + (-f - 0)^2}\) = \(\sqrt{g^2 + f^2}\).

এখন, ত্রিভুজ OAC এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times OA \times AC\).

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, \(OA^2 + AC^2 = OC^2\).

সুতরাং, \(OA^2 = OC^2 - AC^2 = (g^2 + f^2) - (g^2 + f^2 - c) = c\).

অতএব, \(OA = \sqrt{c}\).

তাহলে, ত্রিভুজ OAC এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c}\).

যেহেতু OABC চতুর্ভুজটি দুটি সর্বসম ত্রিভুজ OAC এবং OBC দ্বারা গঠিত, তাই চতুর্ভুজ OABC এর ক্ষেত্রফল = 2 × ত্রিভুজ OAC এর ক্ষেত্রফল।

সুতরাং, OABC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \(2 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c}\) = \(\sqrt{c(g^2 + f^2 - c)}\).

∴ OABC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \(\sqrt{c(g^2+f^2-c)}\). 🥳