OA এবং OB মূলবিন্দু হতে x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তে স্পর্শক এবং C কেন্দ্র হলে OABC চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল হবে-
প্রশ্ন: OA এবং OB মূলবিন্দু হতে \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) বৃত্তে স্পর্শক এবং C কেন্দ্র হলে OABC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল হবে-
উত্তর: \(\sqrt{c(g^2+f^2-c)}\)
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র C(-g, -f) এবং ব্যাসার্ধ r = \(\sqrt{g^2 + f^2 - c}\).
যেহেতু OA এবং OB বৃত্তের স্পর্শক, তাই \(∠OAC = ∠OBC = 90°\). সুতরাং, OABC একটি চতুর্ভুজ যার \(∠OAC\) ও \(∠OBC\) সমকোণ।
OC = \(\sqrt{(-g - 0)^2 + (-f - 0)^2}\) = \(\sqrt{g^2 + f^2}\).
এখন, ত্রিভুজ OAC এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times OA \times AC\).
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, \(OA^2 + AC^2 = OC^2\).
সুতরাং, \(OA^2 = OC^2 - AC^2 = (g^2 + f^2) - (g^2 + f^2 - c) = c\).
অতএব, \(OA = \sqrt{c}\).
তাহলে, ত্রিভুজ OAC এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c}\).
যেহেতু OABC চতুর্ভুজটি দুটি সর্বসম ত্রিভুজ OAC এবং OBC দ্বারা গঠিত, তাই চতুর্ভুজ OABC এর ক্ষেত্রফল = 2 × ত্রিভুজ OAC এর ক্ষেত্রফল।
সুতরাং, OABC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \(2 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c}\) = \(\sqrt{c(g^2 + f^2 - c)}\).
∴ OABC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \(\sqrt{c(g^2+f^2-c)}\). 🥳
```- দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করার শর্ত
- OT=2 হলে, S2 বৃত্তটির সমীকরণ কি হবে?
- x2+y2=9 বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (3,4) হলে, বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?
- If the circles x2 + y2 - 16x - 12y + 75 =0 and 5x2 + 5y2 - 32x - 24y + 75 =0 touch each other, then the equation of the common tangent of their point of contact is --
- x²+ y²-8x-6y+16=0 ......(i)x² + y² = 4.........(ii)উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
- F(x,y) = x2+y2-10x+6y+25G(x,y)=x2+y2+6x-6y-31H(x,y)=3x-4y+5দেখাও যে, F(x,y)=0 ও G(x,y)=0 বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থ ভাবে স্পর্শ করে।
- দুটি বৃত্ত বহিস্থভাবে স্পর্শ করলে স্পর্শকের সংখ্যা-
- y = 2x রেখা 2:1 অনুপাতে x ও y অক্ষদ্বয়কে বিভক্ত করে । রেখাটির x অক্ষের উপর ছেদক অংশ 8 হলে, y অক্ষের উপর রেখাটির ছেদক অংশ কত ?
- দৃশ্যকল্প-1: x² + y²-2x-4y+1=0 (-5, 4) বিন্দু থেকে দৃশ্যকল্প-। এর বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
- \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\) এবং \((x - 2)^2 + (y - 10)^2 = 9\) বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?
- কোন শর্তে x+y=1 রেখাটি x2+y2-2ax=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
- r1 ও r2 বৃত্তের বহিঃস্থভাবে পরস্পরকে স্পর্শ করার শর্ত নিম্নরূপ যখন কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব?
- y - 3x = 0 রেখাটি x2 + y2 = 10 বৃত্তকে-
- x2 + y2 = 9 এবং x2 + y2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে c এর মান—
- x² + y² + 2x-2y+1 = 0 বৃত্তটি x² + y² = a² বৃত্তকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে a এর মান কত?
- দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র c1 ও c2 এবং ব্যাসার্ধ r1 ও r2হলে, বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করার শর্ত-
- কোন শর্তে y = mx + c সরলরেখাটি x2+y2=r2 বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
- এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা x-অক্ষকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং যার দ্বারা y-অক্ষের ছেদাংশের পরিমাপ 6 একক। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যাবে।
- দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র c1 ও c2 এবং ব্যাসার্ধ r1 ও r2হলে, বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করার শর্ত-
- P/(OL) + Q/(OM) + R/(ON
- x2+y2+2x+c=0 এবং x2+y2+2y+c=0 বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে স্পর্শ করলে এর মান হবে-
- দেখাও যে, x² + y² = 4 এবং x² + y²-6x- 8y + 16 = 0 বৃত্তদ্বয় পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার উপর স্পর্শবিন্দুতে লম্বের সমীকরণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
- x = 3y + 10 রেখাটি x2 + y2 = 20 বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A এবং B এর স্থানাংক কত?
- দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কয়টি সাধারণ স্পর্শক বিদ্যমান?
- f(x, y) = x² + y² - 10x+6y +25 g(x, y) = x² + y² + 6x-6y-31 h(x, y) = 3x-4y+5দেখাও যে, f(x, y) = 0 ও g(x, y) = 0 বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
- x2+y2 = 9 এবং x2 + y2+6x+8y+c=0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহি:স্থভাবে স্পর্শ করলে C এর মান
- দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কয়টি সাধারণ স্পর্শক বিদ্যমান?
- দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করার শর্ত-
- K এর মান কত হলে 3x + 4y =k রেখাটি x2 + y2 = 10x বৃত্তকে স্পর্শ করে? (For what values of k, the line 3x+4y=k touches the circle x²+y2=10x?)
- (x + 2)2 + y2 = b2 এবং (x - 1)2+ y2= a2 বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ ???রার শর্ত
- x^2+y^2=9 এবং x^2+y^2+2ax+2y+1=0 বৃত্ত দুটি পরস্পর স্পর্শ করলে a এর মান কত ?
- x2+y2−4x+6y+8=0 ও x2+y2−10x−6y+k=0 বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে k=?
- (9,8) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত, x² + y²-2x-4y20 = 0 বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে বৃত্তটির সমীকরণ-
- $x^2+y^2+5x-3y-8=0$ ও $2x^2+2y^2+4x+5y-7=0$ বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ কোনটি?
- x^2 + y ^2 + 4x + 3y = B, x^2 + y^2 -1 = -1বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ?
- দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ৯ সে.মি. হলে, অপর বৃত্তের পরিধি কত সে.মি.?
- x2+y2=9 ও x2+y2+6x+8y+c=0 বৃহত্তম পরস্পরের বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে c এর মান কত ?
- x²+y²-8x-6y+16=0......... (1)x2+y2=4..................(2)উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
