Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে ধরা যাক, দুটি বলের মধ্যে কোণ \(\theta\)। তাদের বলের মান হলো \(F_1\) এবং \(F_2\)। উল্লেখ্য যে, বলের মধ্যে সম্পর্ক হলো:
\[
F_1 = 2F_2
\]
এবং বলদ্বয়ের মধ্যে লম্বতা \(\ell\) হচ্ছে:
\[
\ell = r \sin \theta
\]
এখানে, \(\ell\) হলো লম্ব, \(r\) হলো বলের মধ্যে দূরত্ব (যা ধরা হলো সমান), এবং \(\theta\) হলো বলের মধ্যে কোণ।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, "ক্রিয়ারত দুটি বলের একটি অপরটির দ্বিগুণ" অর্থাৎ:
\[
F_1 = 2F_2
\]
এবং "লব্ধি ক্ষুদ্রটির উপর লম্ব" অর্থাৎ, লম্ব \(\ell\) ক্ষুদ্র বলের উপর।
এখন, বলের মানের সম্পর্ক অনুযায়ী, বলের মানের অনুপাত:
\[
\frac{F_1}{F_2} = 2
\]
বল শক্তি হলো:
\[
F \propto \frac{1}{r^2}
\]
অর্থাৎ, বলের মানের অনুপাত ধরি:
\[
\frac{F_1}{F_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2
\]
তাহলে,
\[
2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}
\]
এখন, বলের মধ্যে লম্বের মান হলো:
\[
\ell = r \sin \theta
\]
ক্ষুদ্র বলের উপর লম্ব, অর্থাৎ:
\[
\ell_{small} = r_{small} \sin \theta
\]
অতএব,
\[
r_{small} \sin \theta = \text{ক্ষুদ্র বলের লম্ব}
\]
এবং বৃহৎ বলের জন্য:
\[
r_{large} \sin \theta
\]
তাহলে, যেহেতু বলের মানের অনুপাত হলো \(\sqrt{2}\), তাই:
\[
r_{large} = \sqrt{2} \, r_{small}
\]
এবং বলের মানের সম্পর্ক অনুযায়ী, বলের মানের অনুপাত \(\frac{F_1}{F_2} = 2\), যা বলের দূরত্বের অনুপাতের বর্গ:
\[
2 = (\sqrt{2})^2
\]
এখানে, বলের মধ্যে লম্বের মানে, ক্ষুদ্র বলের লম্ব:
\[
\ell_{small} = r_{small} \sin \theta
\]
বৃহৎ বলের লম্ব:
\[
\ell_{large} = r_{large} \sin \theta = \sqrt{2} r_{small} \sin \theta
\]
অতএব, ক্ষুদ্র বলের লম্বের উপর লম্ব:
\[
\ell_{small} = r_{small} \sin \theta
\]
এবং, বলের মানের অনুপাতের জন্য, বলের মধ্যে কোণ \(\theta\) এর মান হলো:
\[
\boxed{
\theta = 120^\circ
}
\]
কারণ, বলের মধ্যে কোণ \(\theta\) এর জন্য সম্পর্ক হলো:
\[
\cos \theta = \frac{F_2}{F_1} = \frac{1}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ
\]
তবে, এখানে প্রশ্নের প্রেক্ষিতে, বলের মধ্যে কোণ \(\theta\) এর জন্য সঠিক মান হলো:
\[
\boxed{
120^\circ
}
\]
সুতরাং, উত্তর হলো:
উত্তর: 120°
