একটি বিন্দুতে 1,2 ও \( \sqrt{3} \) একক বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে। শেষ দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণ কোনটি?

সমাধান:

ধরা যাক, বিন্দুতে ১, ২ ও \(\sqrt{3}\) একক বলত্রয় ক্রিয়া করছে।

প্রত্যেক বলের উপর বলের মধ্যবর্তী কোণের জন্য সমীকরণ অনুযায়ী, বলের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হব??:

\( r_{ij} = d_{ij} \)

আর বলের শক্তি:

\( F_{ij} = \frac{k \cdot q_i q_j}{r_{ij}^2} \)

এখানে, কেসে বলের মান সবসময় একই হবে না, তবে আমরা বলের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে পারি যেখানে বলগুলো সমবায় হয়।

ধাপ ১: বলের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়

ধরা যাক, বলগুলো বিন্দুতে থেকে নির্ণয় করা হয়। বলগুলোকে স্থানাঙ্কে রাখি:

• বল ১: অবস্থান (0, 0)
• বল ২: অবস্থান (d, 0)
• বল ৩: অবস্থান (x, y)

আমাদের লক্ষ্য, বল ২ ও বল ৩ এর মধ্যে কোণ \(\theta\) নির্ণয় করা যেখানে বলগুলো সমবায় হয়।

ধাপ ২: বলের মধ্যবর্তী কোণের জন্য সূত্র

বল ২ এর অবস্থান (d, 0)

বল ৩ এর অবস্থান (x, y)

বল ২ ও বল ৩ এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\):

\( \cos \theta = \frac{\vec{r_2} \cdot \vec{r_3}}{|\vec{r_2}| |\vec{r_3}|} \)

যেখানে, \(\vec{r_2} = (x - d, y)\), \(\vec{r_3} = (x, y)\)

ধাপ ৩: সমবায়ের জন্য শক্তির সমতুল্যতা

শক্তির সমতুল্যতা অনুযায়ী, বলগুলো একে অপরের থেকে সমান দূরত্বে অবস্থান করবে যখন তারা সমবায় হয়।

অর্থাৎ, বল ২ ও বল ৩ এর মধ্যে দূরত্ব:

\( r_{23} = \sqrt{(x - d)^2 + y^2} \)

এবং বল ১ ও বল ৩ এর মধ্যে দূরত্ব:

\( r_{13} = \sqrt{x^2 + y^2} \)

ধাপ ৪: কোণ নির্ণয়

বল ২ ও বল ৩ এর মধ্যে কোণ \(\theta\) এর জন্য, বলের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 150^\circ\) মানে বলগুলো এমনভাবে অবস্থান করবে যেখানে শক্তির সমতুল্যতা বজায় থাকে।

এবং, শক্তির অনুপাত অনুযায়ী, কোণের মান হবে:

\( \theta = 150^\circ \)

উপসংহার:

অতএব, শেষ দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণ \(\boxed{150^\circ}\)।