Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(x\) এর সাপেক্ষে \(\cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) এর অন্তরক নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, \(y = \cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) 🤔
ধরি, \(x = \sin\theta\) 😌
তাহলে, \(\theta = \sin^{-1}x\) হবে।
এখন, \(y = \cos^{-1}(2\sin\theta\sqrt{1-\sin^2\theta})\)
\(= \cos^{-1}(2\sin\theta\cos\theta)\) [ যেহেতু, \(\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta\)]
\(= \cos^{-1}(\sin2\theta)\) [ যেহেতু, \(2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta\)]
\(= \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta))\) [ যেহেতু, \(\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)\)]
যেহেতু, \(x \in [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]\) এর জন্য \(2x\sqrt{1-x^2}\) এর মান \([-1, 1]\) এর মধ্যে থাকে, তাই \(\cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta)) = \frac{\pi}{2} - 2\theta\) লেখা যায়।
সুতরাং, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta\)
\(= \frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x\) [ যেহেতু, \(\theta = \sin^{-1}x\)]
এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,
\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x)\)
\(= 0 - 2\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)\) [ যেহেতু, \(\frac{d}{dx}(\text{ধ্রুবক}) = 0\)]
\(= -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) [ যেহেতু, \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)]
\(= -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\) 😎
অতএব, নির্ণেয় অন্তরক \(\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)। 🎉
```
