x এর প্রেক্ষিতেy = tan^-1"(1-x)/(1+x) এর অন্তরজ কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(x\) এর সাপেক্ষে \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) এর অন্তরজ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \(x = \tan \theta\). সুতরাং, \(\theta = \tan^{-1} x\). তাহলে, \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)\) আমরা জানি, \(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\) সুতরাং, \(y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right)\) যেহেতু, \(\tan^{-1}(\tan x) = x\), সুতরাং \(y = \frac{\pi}{4} - \theta\) এখন, \(\theta\) এর মান বসিয়ে পাই, \(y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x\) এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করি: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x\right)\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} x\right)\) আমরা জানি, ধ্রুবকের অন্তরজ \(0\) এবং \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\). সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2}\) \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}\) অতএব, \(x\) এর সাপেক্ষে \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) এর অন্তরজ \(-\frac{1}{1+x^2}\). 🎉 ```