Explanation:
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(x\) এর সাপেক্ষে \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) এর অন্তরজ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, \(x = \tan \theta\). সুতরাং, \(\theta = \tan^{-1} x\).
তাহলে,
\(y = \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)\)
আমরা জানি, \(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\)
সুতরাং, \(y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right)\)
যেহেতু, \(\tan^{-1}(\tan x) = x\), সুতরাং
\(y = \frac{\pi}{4} - \theta\)
এখন, \(\theta\) এর মান বসিয়ে পাই,
\(y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x\)
এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করি:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x\right)\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} x\right)\)
আমরা জানি, ধ্রুবকের অন্তরজ \(0\) এবং \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\). সুতরাং,
\(\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}\)
অতএব, \(x\) এর সাপেক্ষে \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) এর অন্তরজ \(-\frac{1}{1+x^2}\). 🎉
```
