(tanx-cotx)/(tanx+cotx) কে  x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর। উত্তর: প্রথমে, সমীকরণটি লিখি: \[ \frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} \] অন্তরীকরণের জন্য, \(\tan x\) ও \(\cot x\) কে সাইন ও কোসাইন এর মাধ্যমে প্রকাশ করি: \[ \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}} \] স্মারকভাবে, নিম্নলিখিত পার্থক্য ও যোগের জন্য সাধারণ হার: \[ \frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}} \] উপরের ভগ্নাংশের উভয় অংশের ডিনোমিনেটর একই, তাই এটি কেটে যাবে: \[ \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x} \] অবশ্য, জানি: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] অতএব, সমীকরণটি সরলীকৃত হয়: \[ \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{1} \] এখন, পরিচিত ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণ অনুযায়ী: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] এবং, \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] তাই, \[ \sin^2 x - \cos^2 x = - (\cos^2 x - \sin^2 x) = - \cos 2x \] অতএব, সমাধান: \[ \frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = - \cos 2x \] পরবর্তী ধাপে, আমরা \(\cos 2x\) এর সমতুল্য রূপ ব্যবহার করবো: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] তাই, \[ - \cos 2x = - (1 - 2 \sin^2 x) = -1 + 2 \sin^2 x \] এবং, চূড়ান্ত রূপ: \[ \frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = 2 \sin^2 x - 1 \] এখানে, চূড়ান্ত উত্তর হিসেবে উল্লেখ করা হয়: \[ 2 \sin^2 x \] তাই, সমাধান হলো:

অন্তরীকরণে,

\[
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = 2 \sin^2 x
\]

অথবা, এটি লেখা যায়:

\[
= 2 \sin 2x
\]