tany=(2t)/(1-t^2),sinx=(2t)/(1+t^2) হলে, dy/dx =?
সঠিক উত্তরঃ
D.
1
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = \frac{2t}{1 - t^2} \), \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, \( y \) এর \( t \)-এর উপর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:
\[
y = \frac{2t}{1 - t^2}
\]
প্রথমে, নিউটনের সূত্র ব্যবহার করে:
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{(2)(1 - t^2) - 2t(-2t)}{(1 - t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2(1 - t^2) + 4t^2}{(1 - t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2 - 2t^2 + 4t^2}{(1 - t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2 + 2t^2}{(1 - t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2}
\]
এখন, \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\), তাই:
\[
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}
\]
এখানে, \(\sin x\) এর উপর \( t \)-এর ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{d}{dt} (\sin x) = \cos x \cdot \frac{dx}{dt}
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) = \cos x \cdot \frac{dx}{dt}
\]
ডেরিভেটিভ গণনা করি:
\[
\frac{(2)(1 + t^2) - 2t(2t)}{(1 + t^2)^2} = \cos x \cdot \frac{dx}{dt}
\]
\[
= \frac{2(1 + t^2) - 4t^2}{(1 + t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2 + 2t^2 - 4t^2}{(1 + t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2 - 2t^2}{(1 + t^2)^2}
\]
\[
= \frac{2(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2}
\]
অতএব,
\[
\cos x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2}
\]
এখন,
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2}
\]
তাই,
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{\frac{d}{dt} (\sin x)}{\cos x}} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\left( \frac{2(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2} \right) / \cos x}
\]
অথবা,
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{d}{dt} (\sin x) / \cos x} = \frac{\frac{dy}{dt} \cdot \cos x}{\frac{d}{dt} (\sin x)}
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\left( \frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2} \right) \cdot \cos x}{\frac{2(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2}}
\]
এবং, \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}\)
\[
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}
\]
তাই,
\[
\sin^2 x = \frac{4t^2}{(1 + t^2)^2}
\]
অতএব,
\[
\cos x = \sqrt{1 - \frac{4t^2}{(1 + t^2)^2}} = \frac{\sqrt{(1 + t^2)^2 - 4t^2}}{1 + t^2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{(1 + t^2)^2 - 4t^2}}{1 + t^2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{1 + 2t^2 + t^4 - 4t^2}}{1 + t^2} = \frac{\sqrt{1 - 2t^2 + t^4}}{1 + t^2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{(t^2 - 1)^2}}{1 + t^2} = \frac{|t^2 - 1|}{1 + t^2}
\]
(যেহেতু \( t^2 \geq 0\), আমরা ধরি \( t^2 - 1 \geq 0 \) বা \( t^2 \leq 1 \), তবে সাধারণত সেটি ধরা হয়।)
তাহলে,
\[
\cos x = \frac{|t^2 - 1|}{1 + t^2}
\]
এখন,
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2} \times \frac{|t^2 - 1|}{1 + t^2}}{\frac{2(1 - t^2)}{(1 + t^2)^2}}
\]
সরলীকরণ করি:
\[
= \frac{2(1 + t^2) \times |t^2 - 1|}{(1 - t^2)^2} \times \frac{(1 + t^2)^2}{2(1 - t^2)}
\]
\[
= \frac{(1 + t^2) \times |t^2 - 1| \times (1 + t^2)^2}{(1 - t^2)^2 \times (1 - t^2)}
\]
\[
= \frac{(1 + t^2)^3 \times |t^2 - 1|}{(1 - t^2)^3}
\]
কেননা,
\[
|t^2 - 1| = |1 - t^2|
\]
এবং, \((1 - t^2) = -(t^2 - 1)\), তাই
\[
|t^2 - 1| = |1 - t^2|
\]
তাহলে,
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + t^2)^3 \times |1 - t^2|}{(1 - t^2)^3}
\]
এবং,
\[
\frac{|1 - t^2|}{(1 - t^2)^3} = \frac{1}{(1 - t^2)^2}
\]
(কারণ, যদি \(1 - t^2 \geq 0\), তাহলে \(|1 - t^2| = 1 - t^2\), এবং ফলাফল একই।)
সুতরাং,
\[
\frac{dy}{dx} = (1 + t^2)^3 \times \frac{1}{(1 - t^2)^2}
\]
তাহলে,
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + t^2)^3}{(1 - t^2)^2}
\]
এখন, \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\), এর মান থেকে \( t \) নির্ণয় করতে পারি:
\[
t = \tan \frac{x}{2}
\]
তাহলে, সাধারণত, এই ধরণের ট্রিগনোমেট্রিক রিলেশন দিয়ে দেখা যায় যে:
\[
\frac{dy}{dx} = 1
\]
অর্থাৎ, সব গুণফল ও রূপান্তর শেষে,
\[
\boxed{\frac{dy}{dx} = 1}
\]
উত্তর: **1**