x এর সাপেক্ষে  cos^-1(2xsqrt(1-x^2))  এর অন্তরক সহগ কত ?  

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(x\) এর সাপেক্ষে \(\cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) এর অন্তরকলন নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \(y = \cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) এখন, \(x = \sin\theta\) ধরলে, \(\theta = \sin^{-1}x\) তাহলে, \(y = \cos^{-1}(2\sin\theta\sqrt{1-\sin^2\theta})\) \( = \cos^{-1}(2\sin\theta\cos\theta)\) \( = \cos^{-1}(\sin2\theta)\) \( = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta))\) যেহেতু, \(-1 \le x \le 1\) সুতরাং, \(-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\) অতএব, \(0 \le 2\theta \le \pi\) আবার, \(-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - 2\theta \le \frac{3\pi}{2}\) যদি \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}\) হয়, তবে \(0 \le 2\theta \le \frac{\pi}{2}\) হবে। সুতরাং, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta\) আবার, যদি \(-\frac{\pi}{4} \le \theta \le 0\) হয়, তবে \(-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le 0\) হবে। সুতরাং, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta\) সুতরাং উভয় ক্ষেত্রেই, \(y = \frac{\pi}{2} - 2\theta\) এখন, \(\frac{dy}{d\theta} = -2\) এবং, \(\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) অতএব, \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dx} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}\) ✅ সুতরাং, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\cos^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\) এর অন্তরকলন \(\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}\). 🎉 ```