\( x \) এর সাপেক্ষে \( \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \) এর অন্তরক কোনটি?
A. \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
B. \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
C. \( -\frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \)
D. \( \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \)
সঠিক উত্তরঃ
C.
\( -\frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \)
Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা প্রদানকৃত ফাংশনটি লিখি:
\[
f(x) = \left( \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right) \right)^{\frac{1}{2}}
\]
প্রথমে, চালনা করি \(f(x)\)-র ডেরিভেটিভ। ডেরিভেটিভের জন্য চেইন রুল প্রয়োগ করব।
ধরা যাক,
\[
u = \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right)
\]
তাহলে,
\[
f(x) = \sqrt{u}
\]
প্রথমে, \(f(x)\)-র ডেরিভেটিভ:
\[
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u'
\]
এখন, \(u'\)-র জন্য:
\[
u = \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right)
\]
অতএব,
\[
u' = \frac{d}{dx} \left[ \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right) \right]
\]
\(\cos^{-1} z\)-র ডেরিভেটিভ হলো:
\[
\frac{d}{dz} \cos^{-1} z = - \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}
\]
তাই,
\[
u' = - \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + x}{2} \right)
\]
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{1 + x}{2} \right) = \frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
u' = - \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2}} \cdot \frac{1}{2}
\]
এখন, \(f'(x)\) লিখি:
\[
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u' = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot \left( - \frac{1}{2 \sqrt{1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2}} \right)
\]
এখন, \(u = \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right)\), এর জন্য, \(f'(x)\)-এর মান:
\[
f'(x) = - \frac{1}{4 \sqrt{u} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2}}
\]
পরবর্তী ধাপে, \(1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2\)-এর মান নির্ণয় করি:
\[
1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2 = 1 - \frac{(1 + x)^2}{4} = \frac{4 - (1 + x)^2}{4}
\]
এখানে,
\[
(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2
\]
অতএব,
\[
4 - (1 + x)^2 = 4 - 1 - 2x - x^2 = 3 - 2x - x^2
\]
সুতরাং,
\[
\sqrt{1 - \left( \frac{1 + x}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{3 - 2x - x^2}}{2}
\]
এখন, \(f'(x)\)-এর মান:
\[
f'(x) = - \frac{1}{4 \sqrt{u}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = - \frac{1}{2 \sqrt{u} \cdot \sqrt{3 - 2x - x^2}}
\]
সুতরাং, অন্তরক (অর্থাৎ, ডেরিভেটিভ):
\[
\boxed{
f'(x) = - \frac{1}{2 \sqrt{\cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right)} \cdot \sqrt{3 - 2x - x^2}
}
\]
অর্থাৎ, **উত্তর:**
\[
\boxed{
\frac{d}{dx} \left[ \left( \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right) \right)^{\frac{1}{2}} \right] = - \frac{1}{2 \sqrt{ \cos^{-1} \left( \frac{1 + x}{2} \right)} \cdot \sqrt{3 - 2x - x^2}}
}
\]
যা মূল প্রশ্নের উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে:
**"\( -\frac{1}{2 \sqrt{1 - x^2}} \)"।**
তবে, লক্ষ্য করুন যে এই সূত্রটি মূল প্রশ্নের উত্তর নয়। মূল প্রশ্নের জন্য, একটি সহজ আউটপুট হিসেবে, ডেরিভেটিভের আকার উপস্থাপন করা হয়েছে।
