প্রশ্ন: dy/dx নির্ণয়

দেওয়া আছে: \( x = a(\theta - \sin\theta) \) এবং \( y = a(1 + \cos\theta) \)

প্রথমে, \(\frac{dx}{d\theta}\) নির্ণয় করি: \[ \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} [a(\theta - \sin\theta)] = a(1 - \cos\theta) \]

এরপর, \(\frac{dy}{d\theta}\) নির্ণয় করি: \[ \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} [a(1 + \cos\theta)] = a(0 - \sin\theta) = -a\sin\theta \]

এখন, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করার জন্য, আমরা \(\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\) ব্যবহার করি: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-a\sin\theta}{a(1 - \cos\theta)} = \frac{-\sin\theta}{1 - \cos\theta} \]

আমরা জানি, \(\sin\theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\) এবং \(1 - \cos\theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})\). সুতরাং, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})}{2\sin^2(\frac{\theta}{2})} = -\frac{\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})} = -\cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \]

অতএব, \( \frac{dy}{dx} = -\cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \) 🥳🎉

সুতরাং, উত্তর: \( -\cot(\theta/2) \)